На доске написано число. Олег играет арифметическую игру: он может либо стиретьпоследнюю цифру написанного числа,либо прибавить к написанному числу число 2018 и записать полученный результат,стерео предыдущее число. Может ли Олег действуя таким образом вконец концов получить чило 1? Если да,покажите как; если нет, объясните почему.

Задача с операциями: из текущего числа n можно перейти в - n1 = floor(n/10) (удаляем последнюю цифру), - n2 = n + 2018. Цель: показать, можно ли в конце концов получить число 1, начиная с произвольного исходного числа N. Да, можно. Приведу детальное объяснение и стратегию. Пошаговое доказательство 1) Пусть дано начальное число N. 2) Выберем k так, чтобы 10^k > N и k ≥ 4. Например, можно взять k равным максимально возможному числу цифр у N плюс 1 (или просто k = 5 для любых разумных N). Тогда интервал I = [10^k, 2·10^k − 1] имеет длину 10^k и содержит как минимум 2018 последовательных чисел, то есть в нем встречаются все значения по модулю 2018. 3) В любом интервале длины не меньше 2018 существует число X, такое что X ≡ N (мод 2018). Следовательно существует неотрицательное целое t такое, что N + 2018 t = X, и при этом X ∈ I, то есть X имеет первую цифру 1. 4) Выполнив t раз операцию “прибавить 2018”, мы получаем число X, чья первая цифра равна 1. 5) Теперь повторяем операцию “стереть последнюю цифру” до тех пор, пока на доске не останется только одна цифра. Поскольку первая цифра исходного числа X равна 1, после последовательных стираний последующих цифр мы получим именно число 1. Иллюстративный пример - Пусть N = 3478. - Выберем k = 5: интервал I = [100000, 199999]. - N mod 2018 = 3478 mod 2018 = 1460. Найдём X в I с X ≡ 1460 (mod 2018). Например, X = 199224 (такой X удовлетворяет X ≡ 1460 mod 2018 и лежит в интервале). - Тогда t = (199224 − 3478) / 2018 = 97. Сделав 97 прибавлений 2018, получим число 199224. - Теперь 199224 → 19922 → 1992 → 199 → 19 → 1. - В итоге мы получили 1. Заключение Да, независимо от исходного числа N можно прийти к 1, используя последовательности операций: сначала достаточно много раз прибавлять 2018, чтобы число стало с первой цифрой 1, затем последовательно стирать последние цифры, пока не останется 1.