M * X ^ 2 + 4X - 2 = 0

Задача: M * X^2 + 4X - 2 = 0

Пусть a = M, b = 4, c = -2. Решаем по зависимости от параметра M.

1. Разделяем на случаи

• Если M = 0, то уравнение становится линейным: 4X - 2 = 0 ⇒ X = 2/4 = 1/2.

• Если M ≠ 0, то это квадратное уравнение относительно X. Применяем формулу корней: D = b^2 - 4ac = 16 - 4M(-2) = 16 + 8M.

  Корни: X = [-b ± sqrt(D)] / (2a) = [-4 ± sqrt(16 + 8M)] / (2M).

  Можно упростить запись: sqrt(16 + 8M) = 2sqrt(4 + 2M), поэтому X = [-4 ± 2sqrt(4 + 2M)] / (2M) = [-2 ± sqrt(4 + 2M)] / M. Это работает при M ≠ 0 и M ≥ -2 (чтобы под корнем было неотрицательное число).

2. Разбор по дискриминанту D (для M ≠ 0)

• D > 0 (M > -2): два действительных корня X1,2 = [-4 ± sqrt(16 + 8M)] / (2M) = [-2 ± sqrt(4 + 2M)] / M.

• D = 0 (M = -2): один корень X = -b / (2a) = -4 / (2*(-2)) = 1.

• D < 0 (M < -2): комплексные корни X = [-4 ± isqrt(-(16 + 8M))] / (2M) = [-4 ± isqrt(-8M - 16)] / (2M).

3. Примеры для интуиции (по желанию)

• Пусть M = 1: X^2 + 4X - 2 = 0. D = 16 + 8 = 24. X = (-4 ± sqrt(24)) / 2 = -2 ± sqrt(6) ≈ 0.449 и -4.449.

• Пусть M = 0: линейное решение X = 1/2.

• Пусть M = -3: D = 16 + 8(-3) = -8 (комплексные корни): X = [-4 ± isqrt(8)] / (2(-3)) = (-4 ± i2sqrt(2)) / -6 = (2/3) ∓ (i*sqrt(2))/3.

Итого

• При M = 0 ответ: X = 1/2.
• При M ≠ 0: корни X = [-4 ± sqrt(16 + 8M)] / (2M) (или эквивалентно X = [-2 ± sqrt(4 + 2M)] / M).
• Реальные корни существуют при M ≥ -2; при M = -2 корень единственный (X = 1); при M > -2 — два разных вещественных корня; при M < -2 — комплексные корни.