y=x³-2x²-x+1 x0=3

Задача: для функции y = x^3 - 2x^2 - x + 1 и x0 = 3 найти касательную и значения.

Как понять задачу и что нужно посчитать:

• Обычно для точки x0 строят касательную к кривой y = f(x) в точке x0. Это требует:
  1. найти значение функции в x0: y0 = f(x0)
  2. найти производную f'(x) и подставить x0, чтобы получить наклон касательной m = f'(x0)
  3. записать уравнение касательной в виде y = m(x - x0) + y0 (или y = mx + b)

Шаги решения:

1. Обозначим f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 1.
2. Вычислим f(3): f(3) = 3^3 - 2·3^2 - 3 + 1 = 27 - 18 - 3 + 1 = 7. Значение в точке x0 = 3 равно y0 = 7.
3. Найдем производную: f'(x) = 3x^2 - 4x - 1.
4. Найдем наклон касательной в x0: m = f'(3) = 3·3^2 - 4·3 - 1 = 27 - 12 - 1 = 14.
5. Уравнение касательной в точке (x0, y0): y = m(x - x0) + y0 = 14(x - 3) + 7 = 14x - 42 + 7 = 14x - 35.

Ответ:

• Значение функции в x0 = 3: y0 = 7.
• Наклон касательной: m = 14.
• Уравнение касательной: y = 14x - 35.