20. Точка О равноудалена от всех сторон треугольника. Под каким углом из точки О видна самая длинная сторона треугольника, если его углы равны 22°, 76° и 82°?

Задача подсказывает, что точка O равноудалена от всех сторон треугольника, значит O — это инцентр треугольника (точка пересечения биссектрис углов).

Обозначим треугольник ABC so that:

• углы A, B, C равны 22°, 76°, 82° (соответственно A=22°, B=76°, C=82°).

1. Какая сторона самая длинная? Сторона против наибольшего угла самая длинная. Наибольший угол — C = 82°, значит противоположная ему сторона AB — самая длинная.

2. Какой угол виден от инцентрa O под углом к этой стороне AB? Известное свойство инцентра: угол между лучами IA и IB, где I — инцентр, равен ∠AIB = 90° + ∠C/2. Это можно вывести из того, что IA и IB — бисектрисы углов при A и B.

3. Подставляем число: C = 82°, поэтому ∠AIB = 90° + 82°/2 = 90° + 41° = 131°.

Ответ: самая длинная сторона AB видна из точки O под углом 131°.