Найдите количество чисел, взаимно простых с числом 15 и не превосходящих 170 (ответ там 91 но я хочу объяснение)

Количество чисел, взаимно простых с 15 и не превосходящих 170 можно найти с помощью функции Эйлера. Функция Эйлера, обозначаемая как φ(n), определяет количество чисел, меньших n и взаимно простых с n.

Для нахождения φ(15), нам нужно определить, какие числа от 1 до 15 являются взаимно простыми с 15. Число 15 разлагается на простые множители: 15 = 3 * 5.

Теперь мы можем использовать следующую формулу для функции Эйлера: φ(n) = n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * ... * (1 - 1/pk), где p1, p2, ..., pk - простые множители числа n.

Для числа 15, функция Эйлера будет равна φ(15) = 15 * (1 - 1/3) * (1 - 1/5) = 15 * (2/3) * (4/5) = 8.

Теперь мы знаем, что есть 8 чисел, взаимно простых с 15 и не превосходящих 15. Однако, нам нужно найти количество чисел, взаимно простых с 15 и не превосходящих 170.

Чтобы найти это количество, мы можем использовать тот факт, что для любых двух чисел a и b, функция Эйлера удовлетворяет следующему свойству: φ(a*b) = φ(a) * φ(b), если a и b взаимно просты.

Мы можем разложить 170 на простые множители: 170 = 2 * 5 * 17. Таким образом, мы можем использовать функцию Эйлера, чтобы найти количество чисел, взаимно простых с 2, 5 и 17 и не превосходящих 170.

φ(2) = 2 - 1 = 1, φ(5) = 5 - 1 = 4, φ(17) = 17 - 1 = 16.

Теперь мы можем использовать свойство функции Эйлера для нахождения φ(170): φ(170) = φ(2) * φ(5) * φ(17) = 1 * 4 * 16 = 64.

Таким образом, количество чисел, взаимно простых с 15 и не превосходящих 170, равно 64.