Cos9x - cosx = 0

Задача: cos(9x) − cos(x) = 0 Цель: понять решение подробно. Метод 1 (через тождество для разности cosine) - Используем тождество: cos A − cos B = −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2). - Пусть A = 9x, B = x. Тогда: cos(9x) − cos(x) = −2 sin((9x + x)/2) · sin((9x − x)/2) = −2 sin(5x) · sin(4x). - Задача становится: −2 sin(5x) sin(4x) = 0, то есть произведение равно нулю. - Значит, либо sin(5x) = 0, либо sin(4x) = 0. Решения: - sin(5x) = 0 → 5x = kπ, где k ∈ Z → x = kπ/5. - sin(4x) = 0 → 4x = kπ, где k ∈ Z → x = kπ/4. Итого общее решение: - x ∈ { kπ/5 } ∪ { kπ/4 }, для любого целого k. Метод 2 (параллельно через cos A = cos B) - cos(9x) = cos(x) эквивалентно 9x = 2πk ± x. - При случае плюс: 9x = 2πk + x → 8x = 2πk → x = kπ/4. - При случае минус: 9x = 2πk − x → 10x = 2πk → x = kπ/5. - Получаем те же решения: x = kπ/4 или x = kπ/5, k ∈ Z. Проверка (для ясности) - Например, x = 0: cos(0) − cos(0) = 0. - x = π/4: 9x = 9π/4, cos(9π/4) = cos(π/4) = √2/2; cos(π/4) = √2/2 → разность 0. - x = π/5: 9x = 9π/5; по trig-идентичности получается равенство косинусов, разность ноль. Ответ: - Общий формат решения: x = kπ/5 или x = kπ/4, где k любой целый номер (k ∈ Z).