cos9x - cosx = 0

Задача: cos(9x) − cos(x) = 0

Цель: понять решение подробно.

Метод 1 (через тождество для разности cosine)

• Используем тождество: cos A − cos B = −2 sin((A+B)/2) sin((A−B)/2).
• Пусть A = 9x, B = x. Тогда: cos(9x) − cos(x) = −2 sin((9x + x)/2) · sin((9x − x)/2) = −2 sin(5x) · sin(4x).
• Задача становится: −2 sin(5x) sin(4x) = 0, то есть произведение равно нулю.
• Значит, либо sin(5x) = 0, либо sin(4x) = 0.

Решения:

• sin(5x) = 0 → 5x = kπ, где k ∈ Z → x = kπ/5.
• sin(4x) = 0 → 4x = kπ, где k ∈ Z → x = kπ/4.

Итого общее решение:

• x ∈ { kπ/5 } ∪ { kπ/4 }, для любого целого k.

Метод 2 (параллельно через cos A = cos B)

• cos(9x) = cos(x) эквивалентно 9x = 2πk ± x.
• При случае плюс: 9x = 2πk + x → 8x = 2πk → x = kπ/4.
• При случае минус: 9x = 2πk − x → 10x = 2πk → x = kπ/5.
• Получаем те же решения: x = kπ/4 или x = kπ/5, k ∈ Z.

Проверка (для ясности)

• Например, x = 0: cos(0) − cos(0) = 0.
• x = π/4: 9x = 9π/4, cos(9π/4) = cos(π/4) = √2/2; cos(π/4) = √2/2 → разность 0.
• x = π/5: 9x = 9π/5; по trig-идентичности получается равенство косинусов, разность ноль.

Ответ:

• Общий формат решения: x = kπ/5 или x = kπ/4, где k любой целый номер (k ∈ Z).