x⁴-5x²-36=

Задача: x^4 - 5x^2 - 36 = 0 (предположим, что правая часть равна нулю).

Пошаговое решение (для понятия, подойдёт и для 8 класса):

1. Узнаем форму

• Это биквадратное уравнение: оно зависит от x^2. Можно ввести переменную t = x^2.

2. Переходим к квадратному по t

• Пусть t = x^2. Тогда получаем квадратное уравнение: t^2 - 5t - 36 = 0.

3. Решаем квадратное уравнение по t

• Находим дискриминант: D = (-5)^2 - 4·1·(-36) = 25 + 144 = 169.
• Корни: t = (5 ± √169)/2 = (5 ± 13)/2.
  • t1 = (5 + 13)/2 = 18/2 = 9
  • t2 = (5 - 13)/2 = -8/2 = -4

4. Возвращаемся к x

• Если t = x^2 = 9, то x = ±3.
• Если t = x^2 = -4, то для действительных чисел нет решений (x^2 не может быть отрицательным). В комплексной области: x = ±2i.

5. Альтернативный способ — факторизация

• Можно разложить левую часть: x^4 - 5x^2 - 36 = (x^2 - 9)(x^2 + 4) = (x - 3)(x + 3)(x^2 + 4).
• Отсюда корни: x = -3, x = 3, а для x^2 + 4 = 0 получаем x = ±2i.

Ответ:

• Реальные корни: x = -3 и x = 3.
• Комплексные корни (если учитывать комплексные числа): x = -3, 3, -2i, 2i.