y = |x^2+5x+4|
Задача: y = |x^2 + 5x + 4|
Цель: Понять решение и поведение функции.
Шаг 1. Разложение квадратика x^2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4). Корни: x = -4 и x = -1.
Шаг 2. Определение знака f(x) = x^2 + 5x + 4 на промежутках
- для x < -4: оба множителя (x+1) и (x+4) отрицательные => произведение положительное, f(x) > 0
- для -4 < x < -1: один множитель положительный, другой отрицательный => f(x) < 0
- для x > -1: оба множителя положительные => f(x) > 0
Также видим, что при x = -4 и x = -1 f(x) = 0.
Шаг 3. Абсолютное значение y = |f(x)| будет равен f(x) там, где f(x) ≥ 0, и равен -f(x) там, где f(x) < 0.
По знаку из Шага 2 получаем разбиение по областям:
- y = x^2 + 5x + 4, если x ≤ -4 или x ≥ -1
- y = -(x^2 + 5x + 4) = -x^2 - 5x - 4, если -4 < x < -1
Итого, окончательное определение: y = x^2 + 5x + 4, при x ≤ -4 или x ≥ -1
- x^2 - 5x - 4, при -4 < x < -1
(Замечание: на самом деле там -x^2 - 5x - 4, т.к. это отрицание f(x).)
Шаг 4. Дополнительно о графике и свойствах
- Точки пересечения графика с осью y: y = 0 в x = -4 и x = -1.
- График состоит из двух частей параболы (одна на внешних участках, другая — зеркальная внутри промежутка), при этом внутри (-4, -1) график «развернут вверх» по отношению к исходной параболе.
- Функция непрерывна на всей оси, но не дифференцируема в точках x = -4 и x = -1 (потому что левая и правая производные там различаются: на (-∞,-4] и [-1,∞) производные 2x+5; на [-4,-1] производные -2x-5).
Шаг 5. Полезные числовые сведения
- Внутри (-4, -1) f(x) достигает минимума в вершине исходной параболы: x = -b/(2a) = -5/2 = -2.5. f(-2.5) = (-2.5)^2 + 5(-2.5) + 4 = 6.25 - 12.5 + 4 = -2.25. Тогда y = |f(x)| внутри (-4, -1) достигает максимума 2.25 в x = -2.5.
- Значения на концах промежутка: x = -4 и x = -1 дают y = 0.
Пример некоторых значений:
- x = -5: f = 25 - 25 + 4 = 4 → y = 4
- x = -3: f = 9 - 15 + 4 = -2 → y = 2
- x = 0: f = 0 + 0 + 4 = 4 → y = 4
Итог Функция y = |x^2 + 5x + 4| задаётся кусочно-по определению: y = x^2 + 5x + 4, при x ≤ -4 или x ≥ -1 y = -x^2 - 5x - 4, при -4 < x < -1
Если хочешь, могу нарисовать график или привести графическую таблицу значений на конкретном интервале.
