стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60 градусов. меньшая из площадей диагональных сечений равна 130см². найдите площадь поверхности…
Стороны основания прямого параллелепипеда равны 8 см и 15 см и образуют угол в 60 градусов. меньшая из площадей диагональных сечений равна 130см². найдите площадь поверхности параллелепипеда. по теореме пифагора
Решение
Даны: стороны основания 8 см и 15 см, угол между ними 60°. Это значит, что основание является параллелограммом (не прямоугольником), а высота прямого параллелепипеда перпендикулярна основанию.
- Диагонали основания (по теореме Пифагора/закону cosine) Обозначим a = 8, b = 15, угол между ними γ = 60°.
Длина диагонали AC: |AC|^2 = a^2 + b^2 + 2ab cos γ = 8^2 + 15^2 + 2·8·15·cos 60°. cos 60° = 1/2 → 2ab cos γ = 2·8·15·(1/2) = 120. |AC|^2 = 64 + 225 + 120 = 409 → |AC| = √409.
Длина диагонали BD: |BD|^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos γ = 64 + 225 − 120 = 169 → |BD| = 13.
- Площадь диагональных сечений Диагональная плоскость, проходящая через две противоположные вертикальные ребра, образует прямоугольник высоты h и стороны равной диагонали основания. Поэтому площади диагональных сечений равны h·|AC| и h·|BD|. Меньшая площадь равна h·|BD|, так как |BD| = 13 < |AC| = √409.
По условию меньшая из площадей диагональных сечений равна 130: h · 13 = 130 → h = 10 см.
- Площадь поверхности параллелепипеда Площадь основания S_base = a·b·sin γ. sin 60° = √3/2 → S_base = 8·15·(√3/2) = 120·(√3/2) = 60√3 см².
Периметр основания P_base = 2(a + b) = 2(8 + 15) = 46 см.
Площадь поверхности параллелепипеда: S_surface = 2·S_base + P_base·h = 2·(60√3) + 46·10 = 120√3 + 460 см².
Приблизительно: √3 ≈ 1.732, 120√3 ≈ 207.85, следовательно S_surface ≈ 207.85 + 460 ≈ 667.85 см².
Ответ: площадь поверхности параллелепипеда равна 460 + 120√3 см² (приближённо ≈ 668 см²).
