В треугольнике STRSTR на стороне SRSR отметили произвольную точку BB . В треугольнике STBSTB провели биссектрису BNBN . В треугольнике TRBTRB построили высоту BMBM . Угол NBMNBM…

Ниже приведено решение при следующей естественной интерпретации условий задачи:

• В треугольнике STR на стороне SR лежит точка B.
• В треугольнике SBT проведена биссектриса BN, N лежит на стороне ST.
• В треугольнике TRB построена высота BM (то есть BM ⟂ TR) и M — проекция B на TR.
• Угол NBM = 90° (BN ⟂ BM).
• TB = 17. Найдите BR.

Стратегия решения: координатный подход.

1. Координаты

• Пусть TR лежит на оси x. Обозначим T = (0, 0), R = (d, 0).
• Точка B находится в положении (x, y) с y > 0. Так как BM — высота на TR, то M = (x, 0).
• Тогда TB^2 = x^2 + y^2 = 17^2 = 289.

2. Связь BN и BM

• BM — вертикальная линия x = x, поэтому BN ⟂ BM означает, что BN горизонтальна. Следовательно BN имеет уравнение y = y (то есть её наклон m_BN = 0).

3. Свойство биссектрисы

• BN — биссектриса угла ∠SBT. Если две прямые BT и BS имеют наклоны m_BT и m_BS соответственно, то наклон биссектрисы удовлетворяет arctan(m_BN) = (arctan(m_BT) + arctan(m_BS))/2.
• Поскольку m_BN = 0, получаем arctan(m_BT) + arctan(m_BS) = 0, то есть m_BS = −m_BT.

4. Связь с BR

• Так как S, B и R лежат на одной прямой SR, наклон BS совпадает с наклоном BR. Следовательно m_BR = −m_BT.
• Наклон BT равен m_BT = (y_T − y_B)/(x_T − x_B) = (0 − y)/(0 − x) = y/x.
• Таким образом m_BR = − y/x.

5. Выразим d через x и y

• Наклон BR также равен (0 − y)/(d − x) = − y/(d − x).
• Приравнивая: − y/(d − x) = − y/x. При y ≠ 0 имеем 1/(d − x) = 1/x, значит d − x = x и d = 2x.

6. Найдём BR

• BR^2 = (d − x)^2 + (0 − y)^2 = x^2 + y^2.
• Но x^2 + y^2 = TB^2 = 289.
• Следовательно BR^2 = 289, и BR = 17.

Ответ: BR = 17.