14. Параллельно оси цилиндрапроведено сечение. Образовавшееся сечение является квадратом и отсекает от окружности основания дугу, градусной мерой 900. Найдите площадь бокавая…
14. Параллельно оси цилиндрапроведено сечение. Образовавшееся сечение является квадратом и отсекает от окружности основания дугу, градусной мерой 900. Найдите площадь бокавая поверхности цилиндра, если радиус цилиндра равен 2/2 см.
Решение задачи (цель: понять).
Данные:
- Радиус основания цилиндра R = 2/2 см = 1 см.
- Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, является квадратом.
- При этом эта плоскость отсекает от окружности основания дугу степенью 90° (то есть центральный угол, соответствующий отсечённой дуге, равен 90°).
Связь между расстоянием плоскости до оси и углом отсечения дуги Плоскость, параллельная оси, пересекает основание цилиндра в прямую, удалённую на расстоянии d от центра основания. Отрезанная дуга имеет центральный угол α, где α = 2 arccos(d / R). По условию α = 90°, значит: 2 arccos(d / R) = 90° → arccos(d / R) = 45° → d / R = cos 45° = √2/2 → d = R/√2.
Размеры поперечного сечения cross-section к цилиндру по плоскости, параллельной оси, образует прямоугольник со сторонами:
- высота (по оси цилиндра) = H,
- ширина поперечного сечения вдоль основания = W = 2√(R^2 − d^2).
Подставим d = R/√2: W = 2√(R^2 − R^2/2) = 2√(R^2/2) = √2 · R.
Условие: сектор сечения — квадрат Чтобы сечение было квадратом, высота H должна равняться ширине W: H = W = √2 · R.
Площадь боковой поверхности цилиндра Площадь боковой поверхности цилиндра: S_bок = 2πR H. Подставляем H = √2 R: S_bок = 2πR(√2 R) = 2√2 π R^2.
Подстановка чисел R = 1 см, поэтому: S_bок = 2√2 π (1^2) = 2√2 π см².
Ответ: площадь боковой поверхности цилиндра равна 2√2 · π см² (приближенно ≈ 8.89 см²).
