Найдите отрезки касательных АВ и АС, проведенных из точки А к окружности радиуса г = 9 см, если угол ВАС = 120°. 7 класс

Задача: из точки A проведены касательные AB и AC к окружности радиуса r = 9 см. Известен угол BAC = 120°. Найти отрезки AB и AC (так как касательные из одной точки равны).

План решения:

• Шаг 1. Свойства касательных из одной внешней точки. AB и AC — касательные к окружности, значит AB = AC. Точки B и C лежат на окружности, OB ⟂ AB и OC ⟂ AC (OB и OC — радиусы к точкам касания).
• Шаг 2. AO — бисектор угла BAC. Так как треугольники AOB и AOC по касательностям и радиусам равны (AO общая гипотенуза, OB = OC = r, углы at B и at C — прямые), то эти треугольники равны по HL/практике, следовательно ∠BAO = ∠OAC. Значит AO делит угол BAC пополам: ∠BAO = ∠OAC = 60°.
• Шаг 3. Определяем треугольник AOB. В треугольнике AOB есть угол ∠ABO = 90° ( OB ⟂ AB) и ∠BAO = 60°. Следовательно, ∠AOB = 30°. Это треугольник с углами 90°–60°–30° (30-60-90).
• Шаг 4. Применяем соотношения 30-60-90. В таком треугольнике стороны соотносятся так: короткий катет (площадь напротив угла 30°) : длинный катет (площадь напротив угла 60°) : гипотенуза = 1 : √3 : 2. В нашем треугольнике короткий катет — AB, длинный катет — OB = r = 9 см, гипотенуза — AO. Значит OB = AB · √3, откуда AB = OB / √3 = r / √3 = 9 / √3 = 3√3 см.
• Шаг 5. Получаем ответ. AB = AC = 3√3 см ≈ 5.20 см.

Кратко:

• ∠BAC = 120° => AO — бисектриса => ∠BAO = ∠OAC = 60°.
• В треугольнике AOB получается 30-60-90: OB = AB · √3.
• r = OB = 9 см ⇒ AB = 9/√3 = 3√3 см.
• Следовательно, AB = AC = 3√3 см.