В треугольнике ABC проведена биссектриса CN и высота BH пересекающиеся под углом 75° найдите углы BAC если угол ABH : CBH=1:3

Ниже подробное решение с объяснениями.

Даны:

• В треугольнике ABC CN – биссектриса угла C (то есть N лежит на AB, CN делит угол ACB пополам).
• BH – высота, опущенная из вершины B на сторону AC (H лежит на AC, BH ⟂ AC).
• ABH : CBH = 1 : 3.
• Угол пересечения биссектрисы CN и высоты BH равен 75°.

1. Выражаем углы ABH и CBH через A и C

• BH ⟂ AC, значит угол ABH образован линиями AB и BH, где BH перпендикулярна AC. Следовательно, угол ABH равен 90° − ∠BAC = 90° − A.
• Аналогично угол CBH образован BC и BH; BH ⟂ AC, поэтому угол CBH равен 90° − ∠ACB = 90° − C.

2. По данному отношению углов ABH и CBH получаем уравнение (90 − A) : (90 − C) = 1 : 3 то есть (90 − A) / (90 − C) = 1/3 3(90 − A) = 90 − C 270 − 3A = 90 − C C = 3A − 180 … (1)

3. Используем данное, что угол между CN и BH равен 75° CN — биссектор угла C, значит угол между CN и CA равен C/2. BH перпендикулярна CA, поэтому угол между CN и BH равен 90° − C/2. По условию этот угол равен 75°: 90° − C/2 = 75° C/2 = 15° C = 30°

4. Подставляем C в уравнение (1) и находим A 30 = 3A − 180 3A = 210 A = 70°

Ответ: ∠BAC = 70°.