Центральный угол AOB равен 60 градусов. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 5.

Решение:

Дано: центральный угол AOB равен 60°, радиус окружности OA = OB = R = 5.

1. В треугольнике AOB OA = OB = 5 (его вершины в центре и на окружности), значит треугольник AOB — равнобедренный. Отрезок OM, проведённый из центра O к хорде AB, является медианой, высотой и биссектрисой угла AOB. Поэтому угол AOM равен половине центрального угла: ∠AOM = 60° / 2 = 30°.

2. В прямоугольном треугольнике AOM угол при M равен 90°, гипотенуза OA = 5, угол при O равен 30°. Противолежащий ему катет AM равен половине хорды AB: AM = OA · sin(∠AOM) = 5 · sin(30°) = 5 · 1/2 = 2.5.

3. Хорда AB равна удвоенному AM: AB = 2 · AM = 2 · 2.5 = 5.

Или можно применить формулу длины хорды: AB = 2R sin(\u00b0) = 2 · 5 · sin(30°) = 5.

Ответ: AB = 5.