{3x-11y=1 {22y-6x=-2

Задача: система 3x - 11y = 1 22y - 6x = -2

Разбор и решение:

• Заметим, что второе уравнение является кратной первой: -2 * (3x - 11y) = -6x + 22y = -2, что совпадает с вторым уравнением. Значит система зависимая и имеет бесконечно много решений, все они удовлетворяют одному уравнению 3x - 11y = 1.

• Выразим x через y из первого уравнения: 3x - 11y = 1 ⇒ 3x = 1 + 11y ⇒ x = (1 + 11y)/3.

• Параметризация решений: Пусть t — произвольная сумма (параметр). Тогда y = t, x = (1 + 11t)/3, и вся пара (x, y) удовлетворяет системе.

• Проверка: Подставим x = (1 + 11t)/3, y = t в первый коэффициент: 3x - 11y = 3*(1 + 11t)/3 - 11t = (1 + 11t) - 11t = 1, что верно.

• Примеры целочисленных решений (для целых x и y): Чтобы x и y были целыми, можно выбрать t так, чтобы 1 + 11t делилось на 3. Это происходит, например, если t = 3k + 1, k ∈ Z: тогда y = 1 + 3k, x = 4 + 11k. Примеры: k = 0 → (x, y) = (4, 1); k = 1 → (15, 4).

Итого: система не имеет уникального решения; все решения лежат на прямой, задаваемой 3x - 11y = 1. Форма общего решения:

• x = (1 + 11t)/3, y = t, где t ∈ R или, для целых решений, x = 4 + 11k, y = 1 + 3k, k ∈ Z.