Y=√4-3x , y=√x вычислить площади плоских фигур с помощью определённого интеграла

Задача: найти площадь фигуры, ограниченной двумя графиками y = sqrt(4 - 3x) и y = sqrt(x) с использованием определённого интеграла. 1) Область определения и точки пересечения - y1 = sqrt(4 - 3x) определена при 4 - 3x ≥ 0 → x ≤ 4/3. - y2 = sqrt(x) определена при x ≥ 0. - Пересечение: sqrt(4 - 3x) = sqrt(x) ⇒ 4 - 3x = x ⇒ 4 = 4x ⇒ x = 1, y = 1. - Таким образом, графики пересекаются в точке (1, 1). Область между кривыми на общем отрезке достигает x от 0 до 4/3. Чтобы получить замкнутую фигуру, учитываем границы x = 0 и x = 4/3 (они являются границами области определения обеих функций). 2) Порядок графиков на интервалах - На отрезке 0 ≤ x ≤ 1 верхняя кривая — y1 = sqrt(4 - 3x), нижняя — y2 = sqrt(x) (поскольку 4 - 3x ≥ x на этом отрезке). - На отрезке 1 ≤ x ≤ 4/3 верхняя кривая — y2 = sqrt(x), нижняя — y1 = sqrt(4 - 3x). 3) Разбиение площади на две части Площадь A = ∫_0^1 [sqrt(4 - 3x) - sqrt(x)] dx + ∫_1^{4/3} [sqrt(x) - sqrt(4 - 3x)] dx. 4) Вычисления - Антидифференциалы: ∫ sqrt(4 - 3x) dx = -(2/9)(4 - 3x)^{3/2} ∫ sqrt(x) dx = (2/3)x^{3/2} - Первая часть: ∫_0^1 sqrt(4 - 3x) dx = [-(2/9)(4 - 3x)^{3/2}]_0^1 = -(2/9) + 16/9 = 14/9 ∫_0^1 sqrt(x) dx = [(2/3)x^{3/2}]_0^1 = 2/3 A1 = 14/9 - 2/3 = 8/9 - Вторая часть: ∫_1^{4/3} sqrt(x) dx = (2/3)[x^{3/2}]_1^{4/3} = (2/3)[(4/3)^{3/2} - 1] = 16/(9√3) - 2/3 ∫_1^{4/3} sqrt(4 - 3x) dx = [-(2/9)(4 - 3x)^{3/2}]_1^{4/3} = 0 - (-(2/9)) = 2/9 A2 = (16/(9√3) - 2/3) - 2/9 = 16/(9√3) - 8/9 - Общая площадь: A = A1 + A2 = 8/9 + (16/(9√3) - 8/9) = 16/(9√3) - Рационализация (можно оставить так или привести к более компактной форме): A = 16/(9√3) = (16√3)/27 5) Ответ Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = sqrt(4 - 3x) и y = sqrt(x), равна 16/(9√3) square units, что равно 16√3/27 ≈ 1.026.