диагональ параллелограмма, равная 18 см, перпендикулярна одной из его сторон и образует угол 30°со второй стороной. найдите площадь параллелограмма.

Решение по шагам (уровень 8 класса, цель: понять)

Дано:

• диагональ d параллелограмма равна 18 см;
• эта диагональ перпендикулярна одной стороне;
• эта же диагональ образует угол 30° с другой соседней стороной.
• Нужно найти площадь параллелограмма.

Обозначения:

• Пусть AB — основание параллелограмма, длина AB = a.
• Суммарная другая боковая сторона AD имеет длину b.
• Диагональ, перпендикулярная AB и образующая угол 30° со стороны AD, обозначим как AC и её длина d = 18.

Упрощённая конфигурация (углы и координаты):

• Поместим AB на оси x: A = (0,0), B = (a,0).
• Вектор AD запишем как D = (−a, h) (это обеспечивает, что диагональ AC будет перпендикулярна AB, т.к. C будет иметь x-координату 0). Тогда C = B + AD = (a − a, h) = (0, h).
• Из условия AC = 18: длина диагонали AC равна |AC| = h = 18, значит h = 18.

Условие угла между AC и AD равного 30°:

• Векторы: AC = (0, h) = (0, 18), AD = (−a, h) = (−a, 18).
• Складываем: косинус угла между AC и AD cos(30°) = (AC · AD) / (|AC| |AD|) = (0·(−a) + 18·18) / (18 · sqrt(a^2 + 18^2)) = 324 / (18 sqrt(a^2 + 324)) = 18 / sqrt(a^2 + 324).
• Задаём cos(30°) = √3/2 и решаем относительно a: 18 / sqrt(a^2 + 324) = √3/2 sqrt(a^2 + 324) = 36 / √3 = 12√3 возводим в квадрат: a^2 + 324 = (12√3)^2 = 432 a^2 = 432 − 324 = 108 a = sqrt(108) = 6√3.

Теперь площадь:

• Основание AB имеет длину a = 6√3.
• Высота параллелограмма, проведённая через AB, равна расстоянию между параллельными линиями AB и CD, то есть просто h = 18.
• Площадь S = основание × высота = a × h = (6√3) × 18 = 108√3 см².

Ответ: площадь параллелограмма равна 108√3 см² (примерно 187,1 см²).