Установите последовательность шагов в алгоритме нахождения корня уравнения f(x)=0 на [a; b] методом половинного деления

Ниже детальный пошаговый алгоритм нахождения корня f(x) = 0 на отрезке [a, b] методом половинного деления (бисекции). Предпосылки (нужно проверить перед стартом) - Функция f непрерывна на отрезке [a, b]. - Присутствует изменение знака: f(a) · f(b) ≤ 0. Если f(a) = 0 или f(b) = 0, корень уже на границе ([a] или [b]). Пошаговый алгоритм 1) Инициализация - Задаём начальные значения: a0 = a, b0 = b, счётчик итераций k = 0. - Желаемая точность/погрешность: задаём толеранс eps > 0. 2) Вычисление середины - Вычисляем середину отрезка: m_k = (a_k + b_k) / 2. 3) Оценка функции в середине - Вычисляем f(m_k). 4) Определение нового отрезка - Если f(a_k) · f(m_k) ≤ 0, то корень лежит в [a_k, m_k]. Тогда задаём: a_{k+1} = a_k, b_{k+1} = m_k. - Иначе корень лежит в [m_k, b_k]. Тогда задаём: a_{k+1} = m_k, b_{k+1} = b_k. 5) Проверка условия остановки - Если длина текущего отрезка ≤ eps, то останавливаемся. - Либо можно дополнительно проверить (или заменить) по |f(m_k)| ≤ eps. - Если не достигнута точность, увеличиваем счётчик: k := k + 1 и возвращаемся к шагу 2. 6) Выход и оценка погрешности - При остановке приближённое решение корня: x* ≈ m_k. - Гарантированная погрешность не более (b_k − a_k)/2. - Примерное число итераций, необходимых для заданной точности: N ≥ ceil(log2((b − a)/eps)). Дополнительные замечания - Если f(a) = 0 или f(b) = 0, корень найден без итераций: x* = a или x* = b. - Если f(a) · f(b) > 0, монотонности или непрерывности недостаточно для гарантии существования корня на [a, b] по теореме intermediate value, и метод бисекции не применим без дополнительных условий. - Часто также фиксируют критерий остановки по |f(m_k)| ≤ tol, помимо условия по размеру отрезка. Короткий пример иллюстрации (не обязательно для запоминания, но полезно увидеть) - Пусть f(x) = x^2 − 2 на [1, 2]. f(1) = -1, f(2) = 2. - m0 = 1.5, f(1.5) ≈ 0.25 > 0. Значит новый отрезок [1, 1.5]. - m1 = 1.25, f(1.25) ≈ -0.4375 < 0. -> новый отрезок [1.25, 1.5]. - Продолжая, получаем приближение к sqrt(2) с точностью, которая нужна по eps. Такой набор шагов формально задаёт последовательность выполнения алгоритма бисекции и позволяет получить корень с заданной точностью. Если хотите, могу привести конкретное числовое решение для вашей функции f(x) и отрезка [a, b] с заданной eps.