На какие из перечисленных теоретических фактов могут опираться учащиеся при решении задачи: "В выпуклом четырехугольнике ABCD известны стороны и диагональ: 𝐴𝐵=6, 𝐵𝐶=𝐶𝐷=10,…

Ключевые теоретические факты, на которые можно опираться:

• Закон косинусов: по сторонам треугольника можно найти угол.
• Признак цикличности четверогоугольника: четвероугольник задаётся на одной окружности тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180° (эквивалентно тому, что эти углы supplementary).

Решение по шагам

1. Рассмотрим треугольник ABC с сторонами AB = 6, BC = 10, AC = 14.

• По закону косинусов найдём угол ∠ABC (угол при B, между AB и BC): cos ∠ABC = (AB^2 + BC^2 − AC^2) / (2 · AB · BC) = (6^2 + 10^2 − 14^2) / (2 · 6 · 10) = (36 + 100 − 196) / 120 = −60 / 120 = −1/2. Следовательно, ∠ABC = 120°.

2. Рассмотрим треугольник ADC с сторонами AD = 16, DC = 10, AC = 14.

• По закону косинусов найдём угол ∠ADC (угол при D, между DA и DC): cos ∠ADC = (AD^2 + DC^2 − AC^2) / (2 · AD · DC) = (16^2 + 10^2 − 14^2) / (2 · 16 · 10) = (256 + 100 − 196) / 320 = 160 / 320 = 1/2. Следовательно, ∠ADC = 60°.

3. Сумма противоположных углов: ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.

4. Так как сумма противоположных углов в четвертьугольнике ABCD равна 180°, этот четвероугольник является циклическим: все вершины A, B, C, D лежат на одной окружности. Следовательно, можно описать окружность около ABCD.

Дополнительная примėра (вариант проверки, по желанию)

• По Птолемею для цикличного четырехугольника: AB·CD + BC·AD = AC·BD. Подставив данные, получаем BD = (6·10 + 10·16) / 14 = 220/14 = 110/7, что удовлетворяет несложным условиям существования двух треугольников ABD и CBD с указанными сторонами, подтверждая совместимость условий. Это альтернативный путь проверки цикличности.

Итог: по данному набору длин сторон AB, BC, CD, DA и диагонали AC сумма противоположных углов ∠ABC и ∠ADC равна 180°, следовательно, около квадриля ABCD можно описать окружность.