Обособленная положения могут выделяться при нимони отде- ляются от определяемого слова длительной паузой, например: Пришёл ноябрь - месяц крепких заморозков. (Ю. Казаков) 370.…

Коротко о понятиях:

• Обособленное приложение (один из вариантов члена с придаточной функцией) — приложение отделяется запятыми (или другим знаками препинания, чаще запятой или тире) и добавляет несущественную по смыслу, но уточняющую информацию: например, Наташа, застенчивая худенькая девушка.
• Необособленное приложение — относится к определяемому слову тесно и без паузы, его можно убрать без потери грамматической основы предложения; чаще встречается в сочетаниях, где приложение тесно связано по смыслу и синтаксически «присоединено» к слову определяемому.

По тексту, который вы прислали, есть проблемы с раздельностью и опечатками, из-за чего точно разобрать каждое предложение непросто. Ниже даю разбор того, что можно подтвердить и что требует уточнения. В случае сомнений поместил пометки.

1. Единственным попутчиком, не смущавшим лесничего, была Наташа, застенчивая худенькая девушка. (К. Паустовский)

• Обособленное приложение: Наташа, застенчивая худенькая девушка.
• Объяснение: основное членообразование — была Наташа. После него идёт придаточная пояснительная часть и далее обособляется приложение, поясняющее Наташу — «застенчивая худенькая девушка» (необщее, дополнительное уточнение).

2. Девочки-подростки на другом углу площади водили хороводами. (А. Чехов)

• Здесь явного обособленного или необособленного приложения нет. Подлежащее «Девочки-подростки» — само по себе существительное с прилагательными; никаких дополнительных названий или пояснений, отделённых запятыми, нет.
• Вердикт: отсутствует приложение.

3. Как новая и дорогая вещь, дома висело кружевница и красавица. (К. Паустовский)

• Это не приложение. Это вводная конструкция «Как новая и дорогая вещь» — сравнительная часть, относящаяся ко всему подлежащему «кружевница и красавица». Приложение здесь не выявляется.
• Вердикт: нет обособленного приложения.

4. В этой деревушке жила со своим отцом — пальто не в передней, а в спальной, рядом с мамашиными платами. (Л. Толстой)

• Здесь предложение сильно испорчено пунктуационно (слова «пальто...» не образуют обычное приложение к «отцом»). По предполагаемой смысловой конструкции это не приложение к существительному; здесь скорее пояснение/расшивка, и её нельзя считать типичным приложением. Без исправления невозможно точно классифицировать как обособленное или нет.
• Вердикт: при текущем виде невозможно уверенно отнести к приложению; нужна корректировка текста.

5. Он был известным сторожем — девушка Настя, знаменитая в тех местах как человек большой отваги.

• Это предложение содержит оборот после тире, где идёт уточнение/называние «девушка Настя, знаменитая...». По смыслу здесь можно рассматривать «девушка Настя» как приложение к слову «сторожем»/к понятию, которое формально заменяет «он» во второй части, и далее идёт расширение о Насте.
• Вердикт: возможно обособленное приложение «девушка Настя, знаменитая в тех местах как человек большой отваги» к слову «сторожем» (или к целому предикату). Но форма «девушка Настя» не согласована по падежу с «сторожем» (сторожем — творительный, а «девушка Настя» — именительный). Это признак того, что текст здесь скорее искажён или опечатка. Нужно привести корректную версию.

6. Нагнулся старый атаман и стал отыскивать в траве свою люльку с табаком — неотлучную.

• По смыслу это начало предложения, затем вставка «неотлучную…» неполная. Непонятно, к чему относится «неотлучную».
• Вердикт: невозможно корректно определить наличие приложения без исправления текста.

7. На Игнате‑конторщике появилась ярко‑красная рубаха — сопутница на морях, и на суше, и в походах, и дома. (Н. Гоголь?/М. Салтыков‑Щедрин)

• По схеме: «сопутница на морях ...» поясняет/охарактеризует «ярко‑красная рубаха» после тире. Это можно рассматривать как приложение к существительному «рубаха».
• Вердикт: вероятно обособленное приложение («сопутница на морях...») к слову «рубаха» через тире. Но точно заберётся в зависимости от правильного текста.

Сводка и просьба к уточнению:

• 1. обособленное приложение: да — Наташа, застенчивая худенькая девушка.
• 2. приложение отсутствует.
• 3. приложение отсутствует.
• 4. текущий текст затрудняет классификацию; нужна исправленная версия.
• 5. возможно обособленное приложение, но текст неидеален (несогласование падежей и странная пунктуация).
• 6. текст неполон/искажён; невозможно точно определить.
• 7. вероятно обособленное приложение после тире (сопутница на морях...) — но нужен корректный вариант.

Что сделать дальше:

• Пришлите чистый, корректно набранный текст предложений (без разрывов, опечаток, с правильной пунктуацией). Лучше повторно набрать так, как это представлено в учебнике или экзаменационных задачах.
• Или позволите мне работать по смыслу и привести предполагаемые ответы с обоснованием по каждому пункту (но тогда я буду явно отмечать, что часть формулировок неясна и решения зависят от исправления).

Если хотите, могу оформить готовый ответ после того, как вы пришлёте исправленную версию, с пометками: какой элемент является обособленным приложением, какой — необособленным, и кратким объяснением пунктуации по каждому предложению.