Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 25, а радиус вписанной окружности равен 3.

Ответ: 56 Пошаговое решение: 1) Обозначим стороны: катеты a и b, гипотенуза c = 25, радиус вписанной окружности r = 3. 2) В прямоугольном треугольнике существует формула r = (a + b − c)/2. Это можно увидеть из выражения радиуса через сторону и полупериметр: r = A / s, где A = (a b)/2 и s = (a + b + c)/2; для прямоугольного треугольника это даёт равенство r = (a + b − c)/2. 3) Подставляем известные значения: a + b − c = 2r → a + b = c + 2r = 25 + 6 = 31. 4) Периметр P треугольника равен P = a + b + c. Заменяем: P = 31 + 25 = 56. Дополнительная проверка (по желанию): - Из a + b = 31 и c = 25 получаем ab = ( (a + b)^2 − (a^2 + b^2) ) / 2 = (31^2 − 25^2)/2 = (961 − 625)/2 = 336/2 = 168. - Корни уравнения t^2 − 31t + 168 = 0 дают t = 7 и t = 24, т.е. катеты 7 и 24, и indeed 7^2 + 24^2 = 625 = 25^2, радиус r = (7 + 24 − 25)/2 = 3. Всё согласуется. Итак, периметр прямоугольного треугольника равен 56.