Математическая задача. Решите уравнение: 2 модуль 6700-хравно модуль х-4300 . Задание: 1) Опишите теоретическую базу решения математической задачи (перечислить формулы, понятия,…

Предполагаемое записывание уравнения: 2|6700 − x| = |x − 4300|. Если это не то задание, скажите, и мы подправим формулировку.

1. Теоретическая база решения (пояснение понятий и методов)

• Абсолютная величина: |a| = a, если a ≥ 0; |a| = −a, если a < 0.
• Решение уравнений с абсолютными значениями обычно выполняют способом разбиения по областям, где выражения внутри модулей меняют знак.
• Ключевые точки для разбиения — это значения, в которых внутри модулей равны нулю:
  • Для |6700 − x| важна точка x = 6700.
  • Для |x − 4300| важна точка x = 4300.
• В каждом из получившихся промежутков выражения под модулями снимаются без знаков, превращаясь в линейные уравнения. Затем проверяют полученные корни в исходном уравнении (на наличие в соответствующей области и на корректность подстановки).
• Преобразование пошагово по регионам:
  • region 1: x ≤ 4300
  • region 2: 4300 ≤ x ≤ 6700
  • region 3: x ≥ 6700

2. Решение уравнения 2|6700 − x| = |x − 4300| (пошагово)

• Область 1: x ≤ 4300

  • |6700 − x| = 6700 − x;
  • |x − 4300| = 4300 − x.
  • Уравнение: 2(6700 − x) = 4300 − x → 13400 − 2x = 4300 − x → 9100 = x.
  • Полученный корень x = 9100 не удовлетворяет условию области x ≤ 4300. Проталкиваемый корень отвергаем.

• Область 2: 4300 ≤ x ≤ 6700

  • |6700 − x| = 6700 − x;
  • |x − 4300| = x − 4300.
  • Уравнение: 2(6700 − x) = x − 4300 → 13400 − 2x = x − 4300 → 17700 = 3x → x = 5900.
  • x = 5900 лежит в диапазоне 4300 ≤ x ≤ 6700. Принимаем.

• Область 3: x ≥ 6700

  • |6700 − x| = x − 6700;
  • |x − 4300| = x − 4300.
  • Уравнение: 2(x − 6700) = x − 4300 → 2x − 13400 = x − 4300 → x = 9100.
  • x = 9100 удовлетворяет условию области x ≥ 6700. Принимаем.

• Проверка в исходном уравнении:

  • Для x = 5900: 2|6700 − 5900| = 2|800| = 1600; |5900 − 4300| = |1600| = 1600. Совпадает.
  • Для x = 9100: 2|6700 − 9100| = 2|−2400| = 4800; |9100 − 4300| = 4800. Совпадает.

Итого, решения уравнения: x = 5900 и x = 9100.

3. Контекстная формулировка (для развития функциональной грамотности)

Контекст:

• На прямой дороге отмечены два населённых пункта: A на позиции 4300 м и B на позиции 6700 м. Некая точка X находится на этой же дороге. such что расстояние от X до пункта A вдвое больше, чем расстояние от X до пункта B: 2 · dist(X, B) = dist(X, A), то есть 2|6700 − x| = |x − 4300|.

Пояснение навыков и смысл:

• В задаче используется понятие расстояния на прямой: dist(P, Q) = |координатаP − координатаQ|.
• Уравнение отражает пропорцию расстояний: расстояние до A вдвое больше расстояния до B.
• Практическое моделирование: можно представить две станции на карте и точку X, для которой нужно найти такие положения, чтобы одно расстояние было вдвое другого.

Рекомендованные вопросы и задания для развитии функциональной грамотности:

• В каких ситуациях на карте встречаются подобные пропорции расстояний? Приведите ещё один пример с другими числами.
• Как интерпретировать два полученных корня в контексте задачи? Что означают точки X = 5900 м и X = 9100 м?
• Нарисуйте схему: отметьте положения A (4300), B (6700) и искомую X на прямой; покажите расстояния dist(X,B) и dist(X,A).
• Если заменить числа: скажем, A на 3000, B на 8000, и взять аналогичное уравнение 2|8000 − x| = |x − 3000|, какие решения ожидаются? Как будет выглядеть число решения по аналогии?
• В чем важна проверка решений в каждом регионе разбиения и почему она нужна для задач с модулями?

Итоговый ответ:

• Решения: x = 5900 и x = 9100.
• Контекст позволяет ученику увидеть, как абсолютизированные выражения моделируют реальные расстояния на прямой и как находить все позиции, удовлетворяющие заданной пропорции расстояний. Если хотите, могу привести ещё пару вариантов контекстов (например, расстояния между двумя пунктами метро или координаты точек на карте).