Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Геометрия 2. Тема теста: Отрезки касательных к окружности 3. Класс учеников: 7 4. Типы вопросов в тесте: Открытый вопрос 5. Количество вопросов: 3 6. Выводить ли тест с ответами: Да

Ниже тест по геометрии (7 класс) на тему: Отрезки касательных к окружности. Тип вопросов: открытые. Количество вопросов: 3. Тест с ответами приведён ниже. Вопрос 1 Через точку A вне окружности проведены две касательные AB и AC к окружности в точках B и C соответственно. Докажите, что AB = AC. Обоснование запишите кратко. Вопрос 2 Дано: окружность с центром O и радиусом r. Через точку A вне окружности проведены касательные AB и AC к окружности в точках B и C. Расстояние OA равно d. Найдите длину касательной AB (то есть расстояние от A до точки касания). Выразите ответ через d и r. Для примера посчитайте AB при OA = 10 и r = 6. Вопрос 3 На окружности BC — хорда. Через точку B проведена касательная BD к окружности. Угол между касательной BD и хордой BC равен 42°. Найдите центральный угол ∠BOC (угол, опирающийся на хорду BC). Ответы 1) AB = AC. Обоснование: треугольники AOB и AOC — прямоугольные в B и C соответственно (OB ⟂ AB и OC ⟂ AC), OA — общий гипотенузый для обеих треугольников, OB = OC (радиусы). По признаку гипотенуза-катет или по признаку равенства двух прямоугольных треугольников они конгруэнтны, следовательно AB = AC. 2) Дано: AB^2 = OA^2 − r^2, поэтому AB = sqrt(d^2 − r^2). Пример: при OA = 10 и r = 6, AB = sqrt(100 − 36) = sqrt(64) = 8. 3) По касательной, проведённой в точке B, и хорде BC: угол между касательной BD и хордой BC равен углу, subtended by хорда BC на окружности (угол на окружности, соответствующий хорде BC). Пусть этот угол на окружности равен 42°. Центральный угол ∠BOC, subtendирующий ту же хорду BC, вдвое больше угла на окружности: ∠BOC = 2 × 42° = 84°.