В треугольнике ABC проведена биссектриса CN и высота BH пересекающиеся под углом 80° найдите угол BAC если угол ABH : CBH=1:2

Решение по шагам.

Обозначим углы треугольника:

• α = ∠BAC (искать),
• β = ∠ABC,
• γ = ∠ACB.

Поскольку BH — высота из B к AC, BH ⟂ AC. Тогда:

• ABH — угол между AB и BH. Он равен 90° − α.
• CBH — угол между BC и BH. Он равен 90° − γ.

Дано отношение ABH : CBH = 1 : 2, значит: (90° − α) = (1/2)(90° − γ) 2(90° − α) = 90° − γ 180° − 2α = 90° − γ γ = 2α − 90°.

Теперь рассмотрим CN — биссектрису угла C. Тогда ∠NCA = γ/2 (угол между CN и CA).

Дано угол между CN и BH равен 80°. Так как BH ⟂ AC, угол между CN и BH равен 90° − ∠NCA = 90° − γ/2. Имеем: 90° − γ/2 = 80° γ/2 = 10° γ = 20°.

Подставим γ в выражение γ = 2α − 90°: 20° = 2α − 90° 2α = 110° α = 55°.

Ответ: ∠BAC = 55°.