Краткое решение и ответ:
Шаг 1. Исходная конструкция "жить без проблем" строится на предлогальном управлении: без + существительное в родительном падеже (проблем).
Шаг 2. Чтобы получить синтаксически другой вид связи — примыкание — заменить зависимое слово на наречие, которое присоединяется к глаголу без изменения формы слова. Подойдёт наречие, обычно указывающее образ действия: "жить спокойно".
Шаг 3. Проверка значения: "жить без проблем" и "жить спокойно" близки по смыслу (жить без трудностей/в спокойствии).
Ответ: жить спокойно