Даны два числовых набора: 1. 5 , 7 , 4 , 8 ; 2. 9 , 4 , 21 , 12 . Вычисли дисперсии этих наборов и определи, дисперсия какого набора больше.

Цель задачи: понять и посчитать дисперсии двух наборов и сравнить их.

Пояснение: в школьной задаче обычно выводят дисперсию как популяционную дисперсию: D = (1/n) ∑(x_i - x̄)². Вдобавок можно отметить и выборочную дисперсию: S² = (1/(n-1)) ∑(x_i - x̄)². Ниже приведены оба варианта, но основной вывод останется тем же.

Набор 1: 5, 7, 4, 8

• Шаг 1. Найдём среднее: x̄1 = (5 + 7 + 4 + 8) / 4 = 24 / 4 = 6.
• Шаг 2. Найдём квадраты отклонений и их сумму: (5 - 6)² = 1 (7 - 6)² = 1 (4 - 6)² = 4 (8 - 6)² = 4 ∑ (x_i - x̄1)² = 1 + 1 + 4 + 4 = 10.
• Шаг 3. Популяционная дисперсия: D1 = ∑(x_i - x̄1)² / n = 10 / 4 = 2.5.
• Шаг 4. Выборочная дисперсия (для справки): S1² = ∑(x_i - x̄1)² / (n - 1) = 10 / 3 ≈ 3.333...

Набор 2: 9, 4, 21, 12

• Шаг 1. Найдём среднее: x̄2 = (9 + 4 + 21 + 12) / 4 = 46 / 4 = 11.5.
• Шаг 2. Найдём квадраты отклонений и их сумму: (9 - 11.5)² = 6.25 (4 - 11.5)² = 56.25 (21 - 11.5)² = 90.25 (12 - 11.5)² = 0.25 ∑ (x_i - x̄2)² = 6.25 + 56.25 + 90.25 + 0.25 = 153.
• Шаг 3. Популяционная дисперсия: D2 = ∑(x_i - x̄2)² / n = 153 / 4 = 38.25.
• Шаг 4. Выборочная дисперсия (для справки): S2² = ∑(x_i - x̄2)² / (n - 1) = 153 / 3 = 51.

Сравнение дисперсий:

• Популяционная дисперсия: D1 = 2.5, D2 = 38.25. Дисперсия второго набора значительно больше.
• Выборочная дисперсия: S1² ≈ 3.333, S2² = 51. Также второй набор имеет большую дисперсию.

Итог:

• Дисперсии: набор 1 — 2.5 (популяционная) или ≈ 3.333 (выборочная); набор 2 — 38.25 (популяционная) или 51 (выборочная).
• Набор 2 имеет большую дисперсию.