Сумма катета и гипотенузы равна 36 см. Отношение этого катета к гипотенузе 1:2. Найдите меньший из отрезков, на которые высота треугольника делит ги-потенузу.

Задача про прямоугольный треугольник.

Даем обозначения:

• Катет a (тот, что дан отношение к гипотенузе),
• Гипотенуза c,
• Другой катет b.

По условию: отношение этого катета к гипотенузе равно 1:2, значит a = c/2. Также дано a + c = 36.

1. Найдем c и a:

• a = c/2
• c/2 + c = 36 → (3/2)c = 36 → c = 24, значит a = 12.

2. Найдем второй катет b по теореме Пифагора: a^2 + b^2 = c^2 → 12^2 + b^2 = 24^2 → 144 + b^2 = 576 → b^2 = 432 → b = 12√3.

3. Отрезки, на которые высота опускаемая из вершины прямого угла делит гипотенузу: Если гипотенуза равна c, а прилежащие ей отрезки равны p и q, то: p = a^2 / c, q = b^2 / c. Вычислим:

• p = a^2 / c = 12^2 / 24 = 144 / 24 = 6
• q = b^2 / c = (12√3)^2 / 24 = 432 / 24 = 18

4. Меньший из отрезков: min(p, q) = 6 см.

Ответ: 6 см. Дополнительно можно добавить, что высота h равна ab/c = (12)(12√3)/24 = 6√3 см, и h^2 = p q = 6·18 = 108, что подтверждает вычисления.