. Петя и Ваня решили поиграть. Перед ними лежат две кучи камней. Ребята ходят по очереди, первый ход делает Петя. З а один ход игрок может убрать из любой кучи два камня или уменьшить количество камней в большей куче в два раза (с округлением в большую сторону). Н апример, пусть в одной куче 8 , а в другой 11 камней; эту позицию мы будем обозначать так: ( 8 , 11). З а один ход из позиции ( 8 , 11) можно получить любую из трёх позиций: ( 6 , 11), ( 8 , 9 ), ( 8 , 6 ). Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не более 33. Победителем считается игрок, который сделал последний ход, то есть первым получил позицию, в которой в кучах будет 33 камня или меньше. В начале игры в первой куче было 2 3 камня, во второй — S камней, S>10. Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети. У кажите максимальное значение S , при котором такая ситуация возможна

Ответ: максимальное значение S = 100. Пояснение по шагам 1) Исходная позиция - Первая куча: 8 камней. - Вторая куча: S камней, S > 10. - Правила хода: за один ход можно либо убрать 2 камня из любой кучи, либо уменьшить количество камней в большей куче вдвое (с округлением вверх). 2) Ходы Пети с начальной позиции (8, S) Петя может сделать три типа ходов: - A: убрать 2 из первой кучи → (6, S). сумма камней после хода: S + 6. - B: убрать 2 из второй кучи → (8, S − 2). сумма: S + 6. - C: уменьшить вдвое большую кучу. Так как S > 8, большая куча — вторая; результат: (8, ceil(S/2)). сумма: 8 + ceil(S/2). Условие задачи: у Пети был «неудачный» первый ход, т.е. после его хода сумма камней была больше 33 (игра ещё не закончилась). Это исключает случаи, когда все возможные первые ходы приводят к сумме ≤ 33. Таким образом, S должно быть таким, чтобы существовал хотя бы один ход Пети, который не ведёт к победе Пети в первый ход. Это исключает только очень малые S; в частности, если S ≤ 27, то и A/B, и C приводят к сумме ≤ 33. Значит S > 27. 3) Ходы Вани после хода Пети Нам нужно найти, для каких S существует такой ход Пети (из трёх) и затем — у Вани на ответ есть ход, после которого сумма станет ≤ 33 (то есть Ваня победит своим первым ходом). Рассмотрим каждый из трёх вариантов Пети и найдём, когда у Вани есть победный ответ в одну сделанную им ход: - Позиция P1 = (6, S) (после хода A или B) Гидкие варианты Хода Вани и их влияние на сумму: - удалить по 2 из любой кучи: сумма станет S + 4. Чтобы ≤ 33, требуется S ≤ 29. - уменьшить вдвое большую кучу (это большая куча — S): новая сумма 6 + ceil(S/2). Чтобы ≤ 33, нужно ceil(S/2) ≤ 27 → S ≤ 54. Итого: из P1 Ваня может победить в один ход при S ≤ 54 (наибольший порог из учётов — 54). - Позиция P2 = (8, S − 2) (после хода B) Аналогично: - удалить 2 из любой кучи: сумма станет S + 4 → S ≤ 29. - уменьшить большую кучу (большая к Регион: если S ≥ 15, большая куча — S − 2; новая сумма 8 + ceil((S − 2)/2). Условие ≤ 33 даёт S ≤ 52. Итого: Ваня может победить при S ≤ 52. - Позиция P3 = (8, U), где U = ceil(S/2) (после хода C) Здесь важно, какая куча большая: - если U ≥ 8 (то есть S ≥ 15), большая куча — U. Ход халвинга большой кучи даёт новую пару (8, ceil(U/2)); сумма 8 + ceil(U/2). Нужно 8 + ceil(U/2) ≤ 33 → ceil(U/2) ≤ 25 → U ≤ 50 → S ≤ 100. - если U < 8 (S ≤ 14) — здесь условие S > 27 исключает этот подпериод, так что он не нужен в итоговом учёте. Итого: для P3 Ваня может победить при S ≤ 100. 4) Вывод - Для любых S ≤ 54 существует путь через P1, чтобы Ваня победил в один ход. - Через P2 порог равен S ≤ 52. - Через P3 порог гораздо выше: S ≤ 100. Максимальное S, при котором существует хотя бы одна траектория, ведущая к победе Вани в его первом ходе после неудачного первого хода Пети, равно 100. Пример: S = 100. - Петя выбирает ход C: превращает (8,100) в (8, ceil(100/2)) = (8, 50). Сумма после хода Пети = 8 + 50 = 58 (> 33), то ход не закончил игру. - Ваня отвечает ходом halving большeй кучи 50 → 25: позиция становится (8, 25), сумма 33. Ваня выигрывает на своём первом ходе. Ответ: S_max = 100.