какие треугольники называются равными?

Кратко: треугольники называются равными (конгруэнтными), если их можно совместить при помощи переносов, поворотов и отражений. Иными словами, у них совпадают все соответствующие стороны и все соответствующие углы.

Подробно и по шагам:

1. Определение

• Два треугольника T1 и T2 равны (конгруэнтны), если существует движение (перенос, поворот, отражение), которое переводит все вершины T1 в вершины T2, т.е. соответствующие стороны и углы совпадают по длине и величине.
• Эквивалентно: можно сопоставить стороны и углы так, чтобы каждая пара соответствующих элементов имела одинаковую длину/измерение.

2. Основные критерии конгруэнции (когда достаточно проверить конкретные элементы)

• SSS (по трём сторонам): если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого треугольника соответственно, то треугольники равны. Пример: AB = A'B', BC = B'C', CA = C'A'.
• SAS (по двум сторонам и включённому углу): если две стороны и угол между ними равны у двух треугольников, то они равны. Пример: AB = A'B', AC = A'C', angle BAC = angle B'A'C'.
• ASA (по двум углам и включённой стороне): если две вершины угла и сторона между ними равны, то треугольники равны. Пример: angle A = angle A', angle C = angle C', и сторона AC = A'C'.
• AAS (по двум углам и не включённой стороне): если два угла и остающаяся сторона равны, то треугольники равны. Пример: angle A = angle A', angle B = angle B', и сторона AB = A'B'.
• HL (для прямоугольных треугольников): если гипотенуза и один катет равны друг другу у двух треугольников, то они равны. Пример: для треугольников с углом 90°, гипотенуза и катет совпадают по длине.

3. Что именно считается равным

• Равны не просто отдельные элементы, а соответствующие элементы: стороны пары и углы пары.
• Порядок вершин может быть разным, главное — можно сопоставить элементы так, чтобы все пары соответствовали друг другу.

4. Пример для наглядности

• Есть два треугольника: один с сторонами 3, 4, 5 (мужда диаметр), другой с теми же длинами сторон 3, 4, 5. По критерию SSS они равны.
• Другой пример: два треугольника с двумя равными сторонами по 5 и 7 и включённым между ними углом равным 60°. По SAS эти треугольники равны.

5. Что если не хватает одного элемента

• Если известны не все три стороны или не все углы, не обязательно можно утверждать, что треугольники равны. Например, две стороны равны, но угол между ними не известен — недостаточно для конгруэнции.
• Могут быть схожие треугольники (одинаковая форма, но разный размер); конгруэнтность требует совпадания размера и формы.

Если хочешь, могу привести конкретное решение с чертежами примерами под твой уровень (предмет и класс) или разобрать конкретную задачу на congruence.