Натуральное число N имеет ровно 4 натуральных делителя. Извест- но, что разность двух из них равна 13. Найдите все такие N.

Решение задачи: 1) Разбираемся с числами, имеющими ровно 4 натуральных делителя. - Любое такое число N либо равно p^3, где p — простое, либо равно pq, где p и q — разные простые числа. Это классическое разложение по числу делителей d(N). 2) Рассмотрим случай N = p^3. - Пусть p нечетно. Тогда делители N: 1, p, p^2, p^3 все нечетные, разности любых двух нечетны, в частности не могут быть 13 (13 — простое нечетное число, но разность двух нечетных чисел всегда четная). Значит для нечетного p разности не дают 13. - Пусть p = 2. Тогда N = 8, делители: 1, 2, 4, 8. Их возможные разности: 2−1=1, 4−2=2, 8−4=4, 8−1=7 и остальные пары дают значения 3, 6, 7 и т. п. В любом случае 13 не получается. Следовательно, для N = p^3 ни одно p не дает разности 13. 3) Рассмотрим случай N = pq, где p и q — разные простые. - Если оба простых нечетны (то есть p и q ≥ 3), то делители: 1, p, q, pq — все нечетные. Разности любых двух нечетные числа — четные, а 13 — нечетное число. Значит, такой вариант не подходит. Следовательно, один из простых должен быть равен 2. - Значит N имеет вид N = 2q, где q — нечетное простое. 4) Теперь смотрим на делители N = 2q: {1, 2, q, 2q}. - Разности между ними, которые могут дать 13: - |2q − 1| = 2q − 1 - |q − 1| = q − 1 - |2q − q| = q - |2 − 1| = 1 Другие differences даются аналогично, но эти покрывают возможные значения, равные 13. - Решаем по случаям: - q = 13 даёт разность 2q − q = q = 13 → N = 2q = 26. - 2q − 1 = 13 даёт 2q = 14 → q = 7 (простое) → N = 2q = 14. Остальные варианты требуют нечетного q, которого быть не может или приводят к непростым числам, поэтому дальше решений нет. 5) Проверка: - N = 14: делители 1, 2, 7, 14. Разность 14 − 1 = 13. Подходит. - N = 26: делители 1, 2, 13, 26. Разность 26 − 13 = 13. Подходит. Ответ: все такие N — 14 и 26.