Алёша, Вася, Саша и Дима одноклассники, некоторые пары из них дружат (если А дружит с В, то и В дружит с А). Однажды у ребят спросили, с кем они дружат. Алёша: «Я дружу и с Васей,…

Ответ: верны утверждения Аляши, Саши и Димы; неверно — утверждение Васи.

Пояснение по шагам

• Пусть F(X,Y) означает, что X и Y дружат (взаимно).
• Рассмотрим возможность ложности утверждения Аляши. Если Аляша лжет, тогда три других утверждения должны быть истинны. Но если Вася говорит правду (“я дружу только с Димой”), то F(V,A) должно быть ложным. Это противоречит тому, что Аляша утверждал, что дружит с Васей. Кроме того, из-за взаимности это приводит к противоречию с другими высказываниями (например, Дима сказал бы, что Вася не мой друг). В итоге невозможно получить ровно одно ложное утверждение, если Аляша лжет. Следовательно, Аляша говорит правду.
• Итак, A верно: F(A,V)=T, F(A,S)=T, F(A,D)=T.
• Так как Аляша говорит правду, Вася не может говорить правду о том, что он дружит “только с Димой”, потому что он уже дружит с Аляшей (прямо сказано в его соседнем утверждении и по взаимности). Следовательно, утверждение Васи ложно.
• Остаются утверждения Саши и Димы. Нужно проверить, что они истинны и что вообще возможно ровно одно ложное. Чтобы сохранить ровно одно ложное (у Васи), надо, чтобы Саша говорил правду: он не дружит со Васьей, но дружит с Аляшей и Димой (детство). Это совместимо с тем, что Аляша дружен и с Аляшей, и с Димой, и Дима дружит с Сашей. Дима же говорит, что Саша его друг, а Вася нет — это тоже согласуется. Таким образом, при истинности Аляши три остальных высказывания согласованы друг с другом, и единственно ложным остаётся высказывание Васи.

Итоговые дружбы

• Аляша дружит с Васей, Сашей и Димой.
• Вася дружит только с Аляшей (с Димой и Сашей не дружит).
• Саша дружит с Аляшей и Димой, не дружит с Васей.
• Дима дружит с Аляшей и Сашей, не дружит с Васей.

Верные утверждения: Аляша, Саша, Дима. Неверно: Вася.