Реши уравнение (x² + 2x + 3)² - 17(x² + 2x + 3) = 18. В ответ запиши целые корни уравнения, удовлетворяющие неравенству |x| ≤ 4.

Задача: решить (x^2 + 2x + 3)^2 - 17(x^2 + 2x + 3) = 18 и найти целые корни с условием |x| ≤ 4.

Пошаговое решение

1. Введём замену: t = x^2 + 2x + 3. Тогда уравнение становится t^2 - 17t = 18, т.е. t^2 - 17t - 18 = 0.

2. Решим квадратное уравнение по факторизации: t^2 - 17t - 18 = (t - 18)(t + 1) = 0. Значения t: t = 18 или t = -1.

3. Вернёмся к x.

   • Если t = 18: x^2 + 2x + 3 = 18 → x^2 + 2x - 15 = 0. Дискриминант D = 2^2 - 4·1·(-15) = 4 + 60 = 64. Корни: x = (-2 ± √64)/2 = (-2 ± 8)/2 → x = 3 или x = -5.

   • Если t = -1: x^2 + 2x + 3 = -1 → x^2 + 2x + 4 = 0. Дискриминант D = 2^2 - 4·1·4 = 4 - 16 = -12 < 0. Реальных корней нет.

4. Из всех вещественных корней (3 и -5) выбираем те, что удовлетворяют неравенству |x| ≤ 4:

   • |3| ≤ 4 верно;
   • |-5| ≤ 4 неверно.

Ответ: x = 3.