Вычислить S криволинейную трапецию y=-7x³+2x⁵-6x+2,m=-2,n=-1
Задача: вычислить S криволинейной трапеции под графиком y = f(x) = -7x^3 + 2x^5 - 6x + 2 на интервале m = -2 до n = -1.
- Проверка знака функции на интервале
- Вычислим значения на концах:
- f(-2) = 2(-2)^5 - 7(-2)^3 - 6(-2) + 2 = -64 + 56 + 12 + 2 = 6 > 0
- f(-1) = 2(-1)^5 - 7(-1)^3 - 6(-1) + 2 = -2 + 7 + 6 + 2 = 13 > 0
- Функция непрерывна, и в интервале [-2, -1] она не обращается в ноль (есть единственная критическая точка x ≈ -1.535, которая является максимумом). Таким образом, f(x) > 0 на всём [-2, -1].
- Следовательно, площадь S под графиком и над осью абсцисс на этом отрезке равна интегралу S = ∫_{-2}^{-1} f(x) dx.
- Вычисление интеграла
Найдём несобственный интеграл: ∫ (2x^5 - 7x^3 - 6x + 2) dx = x^6/3 - (7/4)x^4 - 3x^2 + 2x + C Пусть F(x) = x^6/3 - (7/4)x^4 - 3x^2 + 2x.
Оценим на границах: F(-1) = (1)/3 - (7/4) - 3(-1)^2 + 2(-1) = 1/3 - 7/4 - 3 - 2 = -77/12. F(-2) = (64)/3 - (7/4)(16) - 3(4) + 2(-2) = 64/3 - 28 - 12 - 4 = -68/3.
Значение интеграла: S = F(-1) - F(-2) = (-77/12) - (-68/3) = -77/12 + 68/3 = -77/12 + 272/12 = 195/12 = 65/4 = 16.25.
Ответ: S = 65/4 = 16.25 (квадратных единиц).
Краткое резюме: на интервале [-2, -1] график функции лежит выше оси Ox, поэтому площадь трапеции равна определённому интегралу, который вычисляется как 65/4.
