H(x) =cos 3x

Задача: h(x) = cos(3x)

Цель: понять и разобраться в свойствaх функции, побочные вычисления и пример проверки. Ниже — подробное разбор и шаг за шагом.

1. Основные свойства функции

• Это композиция: h(x) = cos(u) с u = 3x.
• Амплитуда: 1 (интервал значений [-1, 1]).
• Вертикальная ось: без смещения (Vert. shift = 0).
• Горизонтальный сдвиг: отсутствует.
• Период: для cos(kx) период равен 2π/|k|. Здесь k = 3, значит период T = 2π/3.
• График: косинус сжаты по оси x в 3 раза по сравнению с cos(x).

2. Основные точные значения и позиции

• Значения максимума и минимума:
  • Максимум 1 достигается там, где cos(3x) = 1: 3x = 2πn → x = 2πn/3, n ∈ Z.
  • Минимум -1 достигается там, где cos(3x) = -1: 3x = π + 2πn → x = (π + 2πn)/3 = π/3 + 2πn/3.
• Нули функции (где h(x) = 0):
  • cos(3x) = 0 → 3x = π/2 + πn → x = π/6 + nπ/3, n ∈ Z.
• Примеры конкретных значений:
  • h(0) = cos(0) = 1
  • h(π/6) = cos(π/2) = 0
  • h(π/3) = cos(π) = -1
  • h(π/2) = cos(3π/2) = 0
  • h(2π/3) = cos(2π) = 1

3. Производная и дифференцирование

• Производная: h'(x) = d/dx [cos(3x)] = -sin(3x) · 3 = -3 sin(3x).
• Кратко объяснение: цепное правило: производная cos(u) = -sin(u) · u', где u = 3x и u' = 3.

4. Повторное дифференцирование (опционально)

• Вторая производная: h''(x) = d/dx [-3 sin(3x)] = -3 · cos(3x) · 3 = -9 cos(3x).

5. Интеграл

• Неравен: ∫ cos(3x) dx = (1/3) sin(3x) + C.
• Обоснование: дифференцируем (1/3) sin(3x) → (1/3) · cos(3x) · 3 = cos(3x).

6. Геометрия графика и визуализация

• График cos(3x) повторяется каждые 2π/3 единицы по x.
• В точке x = 0 график начинается вверх: h(0) = 1.
• В промежутках [0, 2π/3] график совершает один полный цикл: от 1, проходит через 0 в π/6, достигает -1 в x = π/3, снова через 0 в x = π/2, возвращается к 1 в x = 2π/3.

7. Домашний чек-лист по заданию

• Область определения: все действительные числа.
• Область значений: [-1, 1].
• Период: 2π/3.
• Амплитуда: 1.
• Зачем это полезно: такие задачи помогают понять горизонтальное сжатие графика функции cos(ax) при а = 3 и как это влияет на нули, экстремумы и период.

8. Быстрые вычисления для практики

• Найдите h(π/9): 3x = π/3 → cos(π/3) = 1/2 → h(π/9) = 1/2.
• Найдите zeros в ближайшем окне [0, 2π]: x = π/6, π/6 + π/3 = π/2, π/6 + 2π/3 = 5π/6, ….
• Найдите максимум/минимум в этом окне: максимум в x = 0, 2π/3, …; минимум в x = π/3, π/3 + 2π/3 = π, …

Если хочешь, могу привести решение по конкретной задаче на той же функции (например, найти значение в заданной точке, построить график или найти производную в определённой точке). Также могу адаптировать объяснение под учебную программу твоего класса (9–11 класс) или сделать компактное резюме для быстрого конспекта.