Cosx≥0

Задача: cos x ≥ 0.

Допущения: рассматриваем x как действительное число (x ∈ ℝ).

Пошаговое решение

1. Где косинус неотрицателен на одном周期е?

• Косинус неотрицателен в квадрантах I и IV.
• На отрезке [0, 2π] это: x ∈ [0, π/2] и x ∈ [3π/2, 2π].

2. Переменность косинуса

• Косинус имеет период 2π: cos(x) = cos(x + 2πk) для любого k ∈ ℤ.
• Значит все решения получаются из добавления 2πk к найденным интервалам: x ∈ [0 + 2πk, π/2 + 2πk] ∪ [3π/2 + 2πk, 2π + 2πk], где k ∈ ℤ.

3. Упрощение

• Объединив интервалы, получаем компактную форму: x ∈ [−π/2 + 2πk, π/2 + 2πk], k ∈ ℤ.

4. Альтернативно (в градусах)

• x ∈ [−90° + 360°k, 90° + 360°k], k ∈ ℤ.

5. Контроль

• В концах интервалов cos x = 0, потому что cos(π/2 + 2πk) = 0 и cos(−π/2 + 2πk) = 0.
• За пределами интервала косинус отрицателен, внутри — положителен.

Итого

• Общее решение: x ∈ ⋃_{k∈ℤ} [−π/2 + 2πk, π/2 + 2πk].
• Альтернатива: в диапазоне [0, 2π) решить как x ∈ [0, π/2] ∪ [3π/2, 2π).