f(x) =3/x, x0=-1, x0=1

Задача: f(x) = 3/x, точки x0 = -1 и x0 = 1. Найдём касательные к графику в этих точках (обычно так формулируют задачи с x0).

Шаг 1. Производная

• f(x) = 3/x = 3 x^{-1}
• f'(x) = d/dx (3/x) = -3/x^2, при x ≠ 0

Шаг 2. Значения в x0 = -1

• f(-1) = 3/(-1) = -3
• f'(-1) = -3/((-1)^2) = -3
• Уравнение касательной в точке x0: y = f(x0) + f'(x0)(x - x0) y = -3 + (-3)(x - (-1)) = -3 - 3(x + 1) = -3x - 6
• В точке-слагаемой форме: через (-1, -3) с наклоном -3: y + 3 = -3(x + 1)

Ответ для x0 = -1: касательная y = -3x - 6.

Шаг 3. Значения в x0 = 1

• f(1) = 3/1 = 3
• f'(1) = -3/(1^2) = -3
• Уравнение касательной: y = f(1) + f'(1)(x - 1) = 3 + (-3)(x - 1) = -3x + 6
• В точке-слагаемой форме: через (1, 3) с наклоном -3: y - 3 = -3(x - 1)

Ответ для x0 = 1: касательная y = -3x + 6.

Итого:

• Касательная в x0 = -1: y = -3x - 6
• Касательная в x0 = 1: y = -3x + 6

Пояснения:

• Наклон касательной равен производной f'(x0).
• Формула касательной: y = f(x0) + f'(x0)(x - x0) — это линейная аппроксимация функции вокруг точки x0.
• Заметим, что f'(x) = -3/x^2 одинаков для x0 = -1 и x0 = 1, поэтому наклоны касательных совпадают.