F(x) =x3+1, x0=0, x0=1

Question 1

Задача Задача №3617907

А

Аноним

04 июня 2026 00:45 · публичный вопрос

А

Аноним 04 июня 2026 00:45

F(x) =x3+1, x0=0, x0=1

Answer

Задача, которую я считаю здесь логичной и полезной для понимания, звучит как применение метода Ньютона к уравнению f(x)=0 для f(x)=x^3+1 и сравнение двух начальных приближений: x0=0 и x0=1.

Пояснение методa Ньютона (для справки)

Формула обновления: x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n).
Здесь f(x) = x^3 + 1, следовательно f'(x) = 3x^2.

При x0 = 0

f(0) = 0^3 + 1 = 1.
f'(0) = 3*(0)^2 = 0.
Обновление невозможно, так как деление на нуль: x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) не определено. Вывод: метод Ньютона не может быть запущен с начальным приближением x0=0, потому что производная в этой точке равна нулю. Это хороший пример того, что выбор начального приближения важен: при x0=0 метод не сходится/не применяется без дополнительных манипуляций.

При x0 = 1 Здесь можно продолжить вычисления по формуле:

Шаг 1: x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 1 - f(1)/f'(1).
- f(1) = 1^3 + 1 = 2.
- f'(1) = 3*(1)^2 = 3.
- x1 = 1 - 2/3 = 1/3.
Шаг 2: x2 = x1 - f(x1)/f'(x1).
- f(x1) = (1/3)^3 + 1 = 1/27 + 1 = 28/27.
- f'(x1) = 3*(1/3)^2 = 3*(1/9) = 1/3.
- x2 = 1/3 - (28/27) / (1/3) = 1/3 - (28/27)*3 = 1/3 - 28/9 = -25/9 ≈ -2.777...
Шаг 3: x3
- x2 = -25/9.
- f(x2) = x2^3 + 1 = (-25/9)^3 + 1 = -15625/729 + 1 = -14896/729.
- f'(x2) = 3x2^2 = 3(625/81) = 1875/81 = 625/27.
- x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) = (-25/9) - (-14896/729) / (625/27) = (-25/9) + 14896/16875 ≈ -1.894...
Шаг 4: x4 ≈ -1.356 (более точное значение можно получить тем же способом; здесь достаточно видеть направление: x3 ≈ -1.894, далее приближает к корню).
Шаг 5: x5 ≈ -1.085
Шаг 6: x6 ≈ -1.0055
Шаг 7: x7 ≈ -1.0000 (уже очень близко к корню)

Функция f(x) = x^3 + 1 имеет единственный действительный корень x = -1. По последовательности из начального приближения x0 = 1 метод Ньютона сходится к этому корню. В первом случае (x0 = 0) метод не может быть применён из-за деления на ноль (f'(0)=0). Во втором случае последовательность быстро сходится к -1.

Итого

При x0 = 0 метод Ньютона не применим (деление на нуль).
При x0 = 1 последовательность близко сходится к корню x = -1, например: x1 = 1/3, x2 = -25/9, x3 ≈ -1.894, x4 ≈ -1.356, x5 ≈ -1.085, x6 ≈ -1.0055, x7 ≈ -1.0000.

Если задача была другая (например, найти просто значения f(0) и f(1), или разложение в ряд Тейлора вокруг какой-то точки), скажите — подскажу отдельно.

Question 2

f(x) =x3+1, x0=0, x0=1

Answer

Задача, которую я считаю здесь логичной и полезной для понимания, звучит как применение метода Ньютона к уравнению f(x)=0 для f(x)=x^3+1 и сравнение двух начальных приближений: x0=0 и x0=1. Пояснение методa Ньютона (для справки) - Формула обновления: x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n). - Здесь f(x) = x^3 + 1, следовательно f'(x) = 3x^2. 1) При x0 = 0 - f(0) = 0^3 + 1 = 1. - f'(0) = 3*(0)^2 = 0. - Обновление невозможно, так как деление на нуль: x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) не определено. Вывод: метод Ньютона не может быть запущен с начальным приближением x0=0, потому что производная в этой точке равна нулю. Это хороший пример того, что выбор начального приближения важен: при x0=0 метод не сходится/не применяется без дополнительных манипуляций. 2) При x0 = 1 Здесь можно продолжить вычисления по формуле: - Шаг 1: x1 = x0 - f(x0)/f'(x0) = 1 - f(1)/f'(1). - f(1) = 1^3 + 1 = 2. - f'(1) = 3*(1)^2 = 3. - x1 = 1 - 2/3 = 1/3. - Шаг 2: x2 = x1 - f(x1)/f'(x1). - f(x1) = (1/3)^3 + 1 = 1/27 + 1 = 28/27. - f'(x1) = 3*(1/3)^2 = 3*(1/9) = 1/3. - x2 = 1/3 - (28/27) / (1/3) = 1/3 - (28/27)*3 = 1/3 - 28/9 = -25/9 ≈ -2.777... - Шаг 3: x3 - x2 = -25/9. - f(x2) = x2^3 + 1 = (-25/9)^3 + 1 = -15625/729 + 1 = -14896/729. - f'(x2) = 3*x2^2 = 3*(625/81) = 1875/81 = 625/27. - x3 = x2 - f(x2)/f'(x2) = (-25/9) - (-14896/729) / (625/27) = (-25/9) + 14896/16875 ≈ -1.894... - Шаг 4: x4 ≈ -1.356 (более точное значение можно получить тем же способом; здесь достаточно видеть направление: x3 ≈ -1.894, далее приближает к корню). - Шаг 5: x5 ≈ -1.085 - Шаг 6: x6 ≈ -1.0055 - Шаг 7: x7 ≈ -1.0000 (уже очень близко к корню) Функция f(x) = x^3 + 1 имеет единственный действительный корень x = -1. По последовательности из начального приближения x0 = 1 метод Ньютона сходится к этому корню. В первом случае (x0 = 0) метод не может быть применён из-за деления на ноль (f'(0)=0). Во втором случае последовательность быстро сходится к -1. Итого - При x0 = 0 метод Ньютона не применим (деление на нуль). - При x0 = 1 последовательность близко сходится к корню x = -1, например: x1 = 1/3, x2 = -25/9, x3 ≈ -1.894, x4 ≈ -1.356, x5 ≈ -1.085, x6 ≈ -1.0055, x7 ≈ -1.0000. Если задача была другая (например, найти просто значения f(0) и f(1), или разложение в ряд Тейлора вокруг какой-то точки), скажите — подскажу отдельно.