Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6,…

Ниже приводятся ключевые теоретические факты, на которые можно опираться при решении задачи о вписанности четвертьугольника, а затем пошаговое применение этих фактов к данным числам.

Ключевые теоретические факты (для решения задачи о цикличности квадрилатера)

• Факт 1. Окружность описывает четерехугольник (квадрилатера) ABCD тогда и только тогда, когда суммы противолежащих углов равны 180°: ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°. Это эквивалентно вершинам квадрилатера можно поместить на одну окружность.
• Факт 2. Закон косинусов в треугольнике: для треугольника со сторонами a, b и противоположным углу γ против a и b выполняется cos γ = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab), где c — сторона, противоположная γ. Применимо к треугольникам ABC и ADC, которые имеют общую диагональ AC.
• Факт 3. Следование из Факта 1 и геометрии: если ∠ABC + ∠ADC = 180°, то точки A, B, C, D лежат на одной окружности, следовательно квадрилатера cyclic.
• Факт 4. Теорема Птолея: для цикличного quadrilateral ABCD выполняется AC · BD = AB · CD + BC · AD. Это позволяет получить диагональ BD при известных остальных сторонах и диагонали AC, если quad cyclic.
• Факт 5. Обратная связь по Птолеею: если известны AB, BC, CD, AD и AC, то для возможности существования окружности вокруг квадрилатера BD должно равняться BD = (AB · CD + BC · AD) / AC. Это условие пригодится как проверка: если BD действительно удовлетворяет такому значению, квадрилатера может быть cyclic.

Пошаговое решение для данной задачи (показать, что вокруг ABCD можно описать окружность) Даны: AB = 6, BC = 10, CD = 10, AD = 16, AC = 14.

1. Найдем угол ∠ABC в треугольнике ABC с помощью закона косинусов.

• В треугольнике ABC против угла ∠ABC лежит сторона AC = 14.
• По закону косинусов: cos ∠ABC = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2·AB·BC) = (6^2 + 10^2 - 14^2) / (2·6·10) = (36 + 100 - 196) / 120 = (-60) / 120 = -1/2.
• Значит, ∠ABC = 120°.

2. Найдем угол ∠ADC в треугольнике ADC с помощью закона косинусов.

• В треугольнике ADC против угла ∠ADC лежит сторона AC = 14.
• По закону косинусов: cos ∠ADC = (AD^2 + CD^2 - AC^2) / (2·AD·CD) = (16^2 + 10^2 - 14^2) / (2·16·10) = (256 + 100 - 196) / 320 = 160 / 320 = 1/2.
• Значит, ∠ADC = 60°.

3. Сложим найденные углы.

• ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.

4. По Факту 1 (противолежащие углы суммируются до 180°) следует, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Следовательно, вокруг квадрилатера ABCD можно описать окружность (квадрилатера циклична).

Дополнительный комментарий (по Факту 4, Птолей и проверка BD)

• По Факту 4, если бы квадрилатера была циклична, диагональ BD удовлетворяла бы равенству BD = (AB·CD + BC·AD) / AC = (6·10 + 10·16) / 14 = (60 + 160) / 14 = 220 / 14 = 110/7 ≈ 15.714.
• Это дает дополнительнуюConsistency-check: если бы у нас были данные об BD, можно было бы проверить совпадение с этим значением. Но в данной задаче BD не дано, поэтому достаточно проверки углов на supplementary.

Итого: из приведённых вычислений следует, что ∠ABC и ∠ADC являются supplementary, значит ABCD цикличен, и вокруг этого квадрилатера действительно можно описать окружность.