Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6,…
Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6, BC=CD=10, AD=16, АC=14. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность».
Коротко о задаче Дано выпуклый четырехугольник ABCD с AB=6, BC=CD=10, AD=16, AC=14. Необходимо показать, что вокруг него можно описать окружность, т.е. ABCD является циклическим.
Решение (пошагово)
- Найдём угол ∠ABC в треугольнике ABC.
- По закону косинусов для треугольника ABC (стороны вокруг угла B — AB и BC, противолежащий угол — AC): cos(∠ABC) = (AB^2 + BC^2 − AC^2) / (2·AB·BC) = (6^2 + 10^2 − 14^2) / (2·6·10) = (36 + 100 − 196) / 120 = (−60) / 120 = −1/2.
- Значит, ∠ABC = 120°.
- Найдём угол ∠ADC в треугольнике ADC.
- По закону косинусов для треугольника ADC (угол D — ∠ADC, противолежащий — AC): cos(∠ADC) = (AD^2 + CD^2 − AC^2) / (2·AD·CD) = (16^2 + 10^2 − 14^2) / (2·16·10) = (256 + 100 − 196) / 320 = 160 / 320 = 1/2.
- Значит, ∠ADC = 60°.
- Признак цикличности выпуклого четырехугольника.
- У выпуклого четырехугольника ABCD верно: он является циклическим тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°. Здесь ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.
- Следовательно, точки A, B, C, D лежат на одной окружности. То есть вокруг ABCD действительно можно описать окружность.
Ответ: ABCD cyclic; существует окружность, проходящая через все четыре вершины.
Теоретические факты, на которые опираются учащиеся
Закон косинусов (для вычисления углов по сторонам): cos ∠B в треугольнике ABC = (AB^2 + BC^2 − AC^2) / (2·AB·BC); cos ∠D (= ∠ADC) в треугольнике ADC = (AD^2 + CD^2 − AC^2) / (2·AD·CD). Из этого получаем конкретные значения углов: ∠ABC = 120°, ∠ADC = 60°.
Признак цикличности четырехугольника: Выпуклый четырехугольник ABCD строится на окружности (является циклическим), если сумма противоположных углов равна 180°. Эквивалентно: ∠ABC + ∠ADC = 180° (или ∠BAD + ∠BCD = 180°, и т.д.).
Свойство окружности и углов: Если четыре точки лежат на одной окружности, то углы, подпадающие на одну и ту же дугу, равны между собой, и противоположные углы суммы 180°.
Дополнительная связка (для альтернативного подхода, не обязательно здесь): Птолемеево частое следствие для циклических четырехугольников: AB·CD + BC·AD = AC·BD. Если BD известна, это может проверить цикличность или вычислить BD после подтверждения цикличности. Однако для доказательства цикличности в задаче BD не требуется.
