Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6,…

Ниже — набор теоретических фактов, на которые можно опираться учащимся при решении задачи, а затем краткое решение с применением некоторых из этих фактов.

1. Закон косинусов

• Формула: для треугольника со сторонами a, b, c против угла γ напротив стороны c: cos γ = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab).
• Как применимо к задаче: по данным AB, BC, AC можно найти угол ∠ABC; по данным AD, CD, AC — угол ∠ADC.

2. Свойство выпуклого четырехугольника (круговая квадрилатеральность)

• Утверждение: четырехугольник ABCD выпуклый и циклический (около него можно описать окружность) тогда и только тогда противоположные углы суммируются до 180°: ∠ABC + ∠ADC = 180° и/или ∠BAD + ∠BCD = 180°.
• Как применимо к задаче: достаточно вычислить ∠ABC и ∠ADC и проверить их сумму.

3. Связь между косинусами углов, равными 60° и 120°

• Значения: cos 60° = 1/2, cos 120° = −1/2.
• Как применимо к задаче: после вычисления косинусов углов легко определить сами углы как 60° и 120°, что позволяет увидеть их сумму равной 180°.

4. Признак равенства треугольников

• Кратко: если три стороны треугольников равны попарно, или два треугольника имеют две стороны и включённый угол равные, то треугольники равны по некоторым признакам.
• Как применимо к задаче: может использоваться как дополнительная проверка, если бы решалось сравнение треугольников, но в данной задаче прямого использования нет.

5. Свойство равнобедренного треугольника

• Утверждение: если две стороны треугольника равны, тогда основания углов при них равны.
• Как применимо к задаче: менее полезно, так как данная задача не предполагает равенство двух сторон внутри конкретных треугольников, но может пригодиться в других вариантах решения.

6. Формула приведения и табличные значения косинуса острого угла 30°

• Приведения часто используются для быстрого нахождения значений синусов/косинусов углов при решении задач.
• Как применимо к задаче: здесь пригодятся в части быстрого распознавания, что углы могут быть 60°/120°, но конкретно для данного набора данных это не обязательно.

7. Признаки описания окружности вокруг четырех точек (практические альтернативы)

• Кратко: проверка через Птолемея для циклического четырехугольника: AB·CD + BC·AD = AC·BD.
• Как применимо к задаче: может служить альтернативой после того, как доказали цикличность, чтобы найти длину другой диагонали BD.

Краткое решение задачи (пошагово, с пояснениями)

• Данные: AB = 6, BC = 10, AC = 14; AD = 16, CD = 10.

• Шаг 1. Вычисляем ∠ABC в треугольнике ABC (стороны AB, BC и диагональ AC) с помощью закона косинусов: cos ∠ABC = (AB^2 + BC^2 − AC^2) / (2·AB·BC) = (6^2 + 10^2 − 14^2) / (2·6·10) = (36 + 100 − 196) / 120 = −60 / 120 = −1/2. Значит ∠ABC = arccos(−1/2) = 120°.

• Шаг 2. Вычисляем ∠ADC в треугольнике ADC (стороны AD, CD и диагональ AC) с помощью закона косинусов: cos ∠ADC = (AD^2 + CD^2 − AC^2) / (2·AD·CD) = (16^2 + 10^2 − 14^2) / (2·16·10) = (256 + 100 − 196) / 320 = 160 / 320 = 1/2. Значит ∠ADC = arccos(1/2) = 60°.

• Шаг 3. Сумма противоположных углов: ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°. По теореме о циклических четырехугольниках это означает, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Следовательно, вокруг данного четырехугольника можно описать окружность.

• Дополнительный комментарий: после установления цикличности можно применить теорему Птолемея к этому циклическому четырехугольнику для вычисления длины другой диагонали BD: AC·BD = AB·CD + BC·AD → BD = (AB·CD + BC·AD) / AC = (6·10 + 10·16) / 14 = 220 / 14 ≈ 15.71. Это дополнительная проверочная часть, показывающая совместимость данных с цикличностью.

Итог: по данным сторонам и диагонали мы нашли углы ∠ABC = 120° и ∠ADC = 60°, их сумма равна 180°, поэтому ABCD оп окружности — окружность описывается вокруг этого квадрилетера.