Краткий итог для построения: Нарисуйте параболу с вершиной в (0;1), затем прямую, пересекающую ось Y в (0;3). Закрасьте область между ними в пределах от x = − 1 x=−1 до x = 2 x=2.

Цель: Понять и построить графики и закрасить область между ними.

Предмет/класс: алгебра среднего школьного уровня (не указаны).

Решение-пошаговое объяснение

1. Выбрать параболу с вершиной в (0, 1)

• Самый простой выбор: y = x^2 + 1. Эта парабола имеет вершину в (0, 1) и открывается вверх.

2. Взять прямую с пересечением оси Y в (0; 3)

• Прямая с y-пересечением 3 имеет вид y = m x + 3. Чтобы получить простой график и вместе с тем чтобы получить хорошие удобные узлы пересечения, возьмём m = 1: y = x + 3.
• Эта прямая действительно пересекает ось Y в (0, 3).

3. Найти точки пересечения этих графиков

• Решаем систему: x^2 + 1 = x + 3.
• Приводим к квадратному: x^2 - x - 2 = 0.
• Факторируем: (x - 2)(x + 1) = 0 → x = -1 или x = 2.
• Соответствующие точки пересечения: (-1, 2) и (2, 5). Это удобно, потому что заданный диапазон x ∈ [-1, 2] совпадает с точками пересечения.

4. Где и как закрасить

• В диапазоне x от -1 до 2 верхняя кривая — прямая y = x + 3, нижняя — парабола y = x^2 + 1.
• Область R = { (x, y) | -1 ≤ x ≤ 2 и x^2 + 1 ≤ y ≤ x + 3 }.
• На чертеже: начертите обе кривые, соединяющиеся в точках (-1, 2) и (2, 5). Заштрихуйте пространство между ними на интервале x ∈ [-1, 2].

5. Краткая проверка

• В середине отрезка, например в x = 0, значения: парабола y = 0^2 + 1 = 1, прямая y = 0 + 3 = 3. Значит прямая действительно выше параболы на этом интервале — область между ними корректно закрашивается.

6. Дополнительный замечание (по желанию)

• Область между графиками можно посчитать как площадь: ∫ от -1 до 2 of (верхняя минус нижняя) dx = ∫{-1}^{2} [(x+3) - (x^2+1)] dx = ∫{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx = 9/2.
• Это подтверждает, что закрашенная область имеет конечную положительную площадь.

Итог для построения

• Парабола: y = x^2 + 1 (вершина в (0,1)).
• Прямая: y = x + 3 (пересекает ось Y в (0,3)).
• Точки пересечения: (-1, 2) и (2, 5).
• Область закрашена между y = x^2 + 1 и y = x + 3 для -1 ≤ x ≤ 2, сверху — прямая, снизу — парабола.