При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,3, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,97?

Ответ: 5 выстрелов.

Обозначим N — количество выстрелов, пока цель не будет уничтожена. Вероятность, что цель не уничтожена за первые n выстрелов, равна: P(N > n) = 0.7 · 0.4^(n-1) (первый промах 0.7, далее каждый промах 0.4).

Тогда вероятность уничтожения к моменту n выстрелов: P(N ≤ n) = 1 - 0.7 · 0.4^(n-1).

Нужно, чтобы P(N ≤ n) ≥ 0.97: 1 - 0.7 · 0.4^(n-1) ≥ 0.97 0.7 · 0.4^(n-1) ≤ 0.03 0.4^(n-1) ≤ 0.03 / 0.7 ≈ 0.042857.

Проверим целые n-1:

• n = 4: 0.4^3 = 0.064 > 0.042857 (недостаточно)
• n = 5: 0.4^4 = 0.0256 ≤ 0.042857 (хватит)

Следовательно, минимум 5 выстрелов.