Марк и Максим ездят по кольцевой дороге навстречу друг другу. Скорость Марка – 12 км/ч. Они встречаются в трёх точках. Найти скорость Максима.

Ответ: два возможных значения скорости Максима — 6 км/ч или 24 км/ч.

Пошаговое решение (понятно для средней школы):

• Обозначим длину кольцевой дороги через C (круговой путь имеет длину C км).
• Скорости: Марк — v_M = 12 км/ч, Максим — v = ? км/ч.
• Так как они движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна v_M + v, а время до первого их встречи равно T = C / (v_M + v) = C / (12 + v).
• Каждая следующая встреча происходит через интервал времени T, поэтому k-я встреча случается через время t_k = kT.
• Положение встречи по кругу относительно начальной точки равно s_k = (v_M * t_k) mod C = (12 * kT) mod C = (12k / (12 + v)) * C (mod C).
• Таким образом, последовательность встреч образует набор точек, координаты которых по длине круга пропорциональны frac( (12/(12+v)) * k ), т.е. определяются дробью a = 12/(12+v).
• Количество различных точек встреч равно знаменателю дроби a в несокращённом виде (после сокращения дроби p/q встреч будет q различных точек). По условию, этих точек ровно 3, значит знаменатель дроби a равен 3.
• Следовательно, 12/(12+v) = p/3, где p — целое число и gcd(p,3)=1, то есть p ∈ {1, 2}.

Решаем два варианта:

• Если 12/(12+v) = 1/3, то 36 = 12 + v → v = 24 км/ч.
• Если 12/(12+v) = 2/3, то 36 = 2(12 + v) → 12 + v = 18 → v = 6 км/ч.

Итого, Максим может ехать либо 6 км/ч, либо 24 км/ч. Оба варианта дают ровно три различные точки встречи на кольцевой дороге.