Укажите теоретический или теоретические факты, на которые могут опираться учащиеся при решении задачи: «В выпуклом четырехугольнике АВСD известны стороны и диагональ: AB=6,…

Итого цель: показать, что выпуклый четырехугольник ABCD (с данными AB=6, BC=CD=10, AD=16, AC=14) можно описать окружностью (т.е. он цикличен). Ниже приведены теоретические факты, на которые можно опираться, и пошаговое решение.

1. Полезные теоретические факты (факты, на которые опираемся)

• Признак цикличности четырехугольника: четыре вершины лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180 градусов: ∠ABC + ∠ADC = 180°.
• Теорема косинусов: в любом треугольнике со сторонами a, b, c против угла между сторонами a и b сторона c удовлетворяет cos γ = (a^2 + b^2 − c^2) / (2ab), где γ — угол между сторонами a и b против стороне c.
• Табличные значения косинуса для простых углов (часто используемые: cos 60° = 1/2, cos 120° = −1/2).
• Альтернатива проверки цикличности через теорему Птолемея: для цикличного ABCD выполняется AC·BD = AB·CD + BC·AD. Но BD в данной задаче неизвестна, поэтому удобнее проверить суммы углов.

2. Пошаговое решение

• Рассматриваем треугольники ABC и ADC, которые образуют диагональ AC = 14.

a) В треугольнике ABC: AB = 6, BC = 10, AC = 14. cos ∠ABC = (AB^2 + BC^2 − AC^2) / (2·AB·BC) = (6^2 + 10^2 − 14^2) / (2·6·10) = (36 + 100 − 196) / 120 = (−60) / 120 = −1/2. Значит ∠ABC = arccos(−1/2) = 120°.

b) В треугольнике ADC: AD = 16, CD = 10, AC = 14. cos ∠ADC = (AD^2 + CD^2 − AC^2) / (2·AD·CD) = (16^2 + 10^2 − 14^2) / (2·16·10) = (256 + 100 − 196) / 320 = 160 / 320 = 1/2. Значит ∠ADC = arccos(1/2) = 60°.

• Сумма противоположных углов: ∠ABC + ∠ADC = 120° + 60° = 180°.

• По признаку цикличности, если сумма противоположных углов равна 180°, то точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.

3. Примечания по теории и возможные альтернативы

• В этом решении ключевую роль сыграли: признак цикличности через суммарную противоположных углов и теорема косинусов для вычисления углов.
• Альтернатива (если бы BD была дана или могла быть найдена): проверить условие Птолемея для цикличности: AC·BD = AB·CD + BC·AD. Здесь численно правдоподобно было бы вычислить BD как BD = (AB·CD + BC·AD) / AC и затем проверить согласованность с треугольниками ABD и CBD.
• Значения cos ∠ABC = −1/2 и cos ∠ADC = 1/2 соответствуют углам 120° и 60°, что часто упрощает распознавание сумм углов.

Итог: благодаря теореме косинусов и признаку цикличности, мы доказали, что вокруг выпуклого четырехугольника ABCD можно описать окружность.