Сколько будет корень из 5692

Задача: найти корень квадратный из 5692, то есть sqrt(5692).

Пошаговое решение (для понятности):

1. Найдем простое разложение под корнем

• 5692 делится на 4: 5692 = 4 × 1423.
• Значит можно вынести квадратный множитель: sqrt(5692) = sqrt(4) × sqrt(1423) = 2 × sqrt(1423).

2. Упростим радикал

• Число 1423 не делится на 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 (проверяем до корня из 1423 ≈ 37.7). Это значит, что 1423 является простым, и радикал не может быть упрощён дальше.
• Итого: sqrt(5692) = 2 sqrt(1423) точно.

3. Приближённое значение (чтобы получить число)

• Прямая оценка: 75^2 = 5625 и 76^2 = 5776, значит sqrt(5692) между 75 и 76.
• Первый приближённый метод на основе a = 75 и c = 5692 − 75^2 = 67: sqrt(5692) ≈ a + c/(2a) = 75 + 67/150 ≈ 75.4467.
• Можно взять одну итерацию метода Ньютона: x1 = (75 + 5692/75)/2 ≈ (75 + 75.8933)/2 ≈ 75.4467.
• Таким образом, sqrt(5692) ≈ 75.447 (до трёх знаков после запятой).

Итого:

• Точное выражение: sqrt(5692) = 2 sqrt(1423).
• Приближённо: sqrt(5692) ≈ 75.447.