2. Тело скользит с вершины прямоугольного клина, имеющего фиксированную длину основания и переменный угол φ между наклонной плоскостью и горизонтом. При каком значении угла φ время скольжения будет наименьшим? Коэффициент трения между телом и поверхностью клина µ = 0,10.

Question 1

Задача Задача №3619409

А

Аноним

16 июня 2026 07:04 · публичный вопрос

А

Аноним 16 июня 2026 07:04

2. Тело скользит с вершины прямоугольного клина, имеющего фиксированную длину основания и переменный угол φ между наклонной плоскостью и горизонтом. При каком значении угла φ время скольжения будет наименьшим? Коэффициент трения между телом и поверхностью клина µ = 0,10.

Answer

Задача решается в рамках классического kifнеса: тело движется по наклонной плоскости угла φ к горизонту, с коэффициентом трения µ = 0,10, и длина основания клина фиксирована (обозначим её B). Рассмотрим движение с начала пути.

Геометрия и скорость движения

Ограничим перемещение тело вдоль наклонной плоскости длиной L. При фиксированном основании B угол φ даёт угол наклона, а длина наклонной стороны L зависит от φ: B = L cos φ, значит L = B / cos φ.
Вертикальная высота клина: h = L sin φ = (B / cos φ) sin φ = B tan φ.

Силы вдоль наклонной плоскости

Гравитационная компонента вдоль плоскости: mg sin φ.
Нормальная сила: N = mg cos φ.
Сила трения (модуль): F_f = µ N = µ mg cos φ, против движения.
Приняв, что тело движется вниз по наклонной, ускорение вдоль плоскости: a = g (sin φ − µ cos φ).

Условие начала движения: sin φ > µ cos φ, то есть tan φ > µ. Это значит, возможность скольжения существует в заданном диапазоне φ.

Время спуска

Пусть тело стартует с покоя. Его пройденный путь по наклонной плоскости равен L, поэтому с постоянным ускорением время равно: L = (1/2) a t^2 => t = sqrt(2L / a).
Подставим L и a: t(φ) = sqrt( 2 (B / cos φ) / [g (sin φ − µ cos φ)] ) = sqrt( (2B) / [g cos φ (sin φ − µ cos φ)] ).

Оптимизация по φ

Обозначим D(φ) = cos φ (sin φ − µ cos φ) = sin φ cos φ − µ cos^2 φ.
Время минимизируется при максимальном D(φ) на допустимом промежутке φ ∈ (arctan µ, 90°).
Найдём критическую точку: dD/dφ = 0. dD/dφ = cos 2φ + µ sin 2φ. Значит, требуем tan 2φ = −1/µ.
Так как µ > 0, подходящее решение в диапазоне φ ∈ (arctan µ, 90°) даёт: 2φ* = π − arctan(1/µ) = π/2 + arctan µ, следовательно φ* = π/4 + (1/2) arctan µ.
Это внутреннее максимальное значение D(φ), что даёт минимальное t. При φ → arctan µ снижается a и t → ∞, при φ → 90° L → ∞ и t → ∞, поэтому условие действительно даёт минимум во внутреннем точке.

Численный ответ для µ = 0,10

arctan µ = arctan(0,10) ≈ 0,0997 рад ≈ 5,71°.
φ* = π/4 + (1/2) arctan µ ≈ 0,7854 + 0,0498 ≈ 0,8352 рад ≈ 47,9°.
Следовательно, время скольжения будет минимальным при угле φ примерно 47,9°.

Итог:

Общее решение: время скольжения минимизируется при φ*, где tan 2φ* = −1/µ, то есть φ* = π/4 + (1/2) arctan µ.
Для µ = 0,10: φ* ≈ 47,9°. При этом φ должен быть больше arctan µ ≈ 5,7°, чтобы движение происходило.

Дополнительно: минимальное время выражается как t_min = sqrt( 2B / [g cos φ* (sin φ* − µ cos φ*)] ), подстановкой φ* из формулы выше. Если нужны численные значения t_min или иллюстрации графика, скажите параметры B и g, и можем посчитать.

Question 2

2. Тело скользит с вершины прямоугольного клина, имеющего фиксированную длину основания и переменный угол φ между наклонной плоскостью и горизонтом. При каком значении угла φ время скольжения будет наименьшим? Коэффициент трения между телом и поверхностью клина µ = 0,10.

Answer

Задача решается в рамках классического kifнеса: тело движется по наклонной плоскости угла φ к горизонту, с коэффициентом трения µ = 0,10, и длина основания клина фиксирована (обозначим её B). Рассмотрим движение с начала пути. 1) Геометрия и скорость движения - Ограничим перемещение тело вдоль наклонной плоскости длиной L. При фиксированном основании B угол φ даёт угол наклона, а длина наклонной стороны L зависит от φ: B = L cos φ, значит L = B / cos φ. - Вертикальная высота клина: h = L sin φ = (B / cos φ) sin φ = B tan φ. 2) Силы вдоль наклонной плоскости - Гравитационная компонента вдоль плоскости: mg sin φ. - Нормальная сила: N = mg cos φ. - Сила трения (модуль): F_f = µ N = µ mg cos φ, против движения. - Приняв, что тело движется вниз по наклонной, ускорение вдоль плоскости: a = g (sin φ − µ cos φ). Условие начала движения: sin φ > µ cos φ, то есть tan φ > µ. Это значит, возможность скольжения существует в заданном диапазоне φ. 3) Время спуска - Пусть тело стартует с покоя. Его пройденный путь по наклонной плоскости равен L, поэтому с постоянным ускорением время равно: L = (1/2) a t^2 => t = sqrt(2L / a). - Подставим L и a: t(φ) = sqrt( 2 (B / cos φ) / [g (sin φ − µ cos φ)] ) = sqrt( (2B) / [g cos φ (sin φ − µ cos φ)] ). 4) Оптимизация по φ - Обозначим D(φ) = cos φ (sin φ − µ cos φ) = sin φ cos φ − µ cos^2 φ. - Время минимизируется при максимальном D(φ) на допустимом промежутке φ ∈ (arctan µ, 90°). - Найдём критическую точку: dD/dφ = 0. dD/dφ = cos 2φ + µ sin 2φ. Значит, требуем tan 2φ = −1/µ. - Так как µ > 0, подходящее решение в диапазоне φ ∈ (arctan µ, 90°) даёт: 2φ* = π − arctan(1/µ) = π/2 + arctan µ, следовательно φ* = π/4 + (1/2) arctan µ. - Это внутреннее максимальное значение D(φ), что даёт минимальное t. При φ → arctan µ снижается a и t → ∞, при φ → 90° L → ∞ и t → ∞, поэтому условие действительно даёт минимум во внутреннем точке. 5) Численный ответ для µ = 0,10 - arctan µ = arctan(0,10) ≈ 0,0997 рад ≈ 5,71°. - φ* = π/4 + (1/2) arctan µ ≈ 0,7854 + 0,0498 ≈ 0,8352 рад ≈ 47,9°. - Следовательно, время скольжения будет минимальным при угле φ примерно 47,9°. Итог: - Общее решение: время скольжения минимизируется при φ*, где tan 2φ* = −1/µ, то есть φ* = π/4 + (1/2) arctan µ. - Для µ = 0,10: φ* ≈ 47,9°. При этом φ должен быть больше arctan µ ≈ 5,7°, чтобы движение происходило. Дополнительно: минимальное время выражается как t_min = sqrt( 2B / [g cos φ* (sin φ* − µ cos φ*)] ), подстановкой φ* из формулы выше. Если нужны численные значения t_min или иллюстрации графика, скажите параметры B и g, и можем посчитать.