По каналу связи передаются сообщения, содержащие только четыре буквы: А, Б, В, Г. Для передачи используется двоичный код, удовлетворяющий условию Фано. Кодовые слова для некоторых букв известны: А  000, Б  001. Укажите сумму длин кратчайших кодовых слов для букв В и Г, которые будут удовлетворять условию Фано.

Дружелюбно разберёмся, как решить задачку по Фано и почему твой ответ 4 неверен.

1. Понимание задачи

• Есть четыре буквы: А, Б, В, Г.
• Известны кодовые слова: А = 000, Б = 001.
• Нужно подобрать кодовые слова для В и Г так, чтобы код удовлетворял условию Фано (то есть был префиксным и корректно заполненным деревом кодов).
• Найти сумму длин кратчайших кодовых слов для В и Г (то есть минимально возможные длины этих двух кодовых слов, которые можно подобрать совместно с данными А и Б).

2. Как решать (кратко и наглядно)

• Существуют два кодовых слова для А и Б: 000 и 001. Это занимает узел 00 и делает его внутренним (у него две дочерних ветви 000 и 001).
• Остаются две буквы В и Г. Чтобы код был префиксным и дерево кодов могло быть полным, нужно разместить две оставшиеся кодовые слова на оставшихся ветвях дерева.
• Самые короткие возможности для В и Г — это слова длиной 1 и 2: 1 и 01. Это они должны быть на ветвях:
  • 1 — путь root -> 1 (одна длинна 1)
  • 01 — путь root -> 0 -> 1 (длина 2)
• Пример допустимого набора кодов:
  • А = 000
  • Б = 001
  • Г = 1
  • В = 01 Либо поменять В и Г местами. В любом случае длины для двух новых кодовых слов: 1 и 2.

3. Ответ

• Сумма длин кратчайших слов для В и Г = 1 + 2 = 3.
• Правильные варианты кодов для В и Г дают именно такие длины (например: Г = 1, В = 01).

4. Почему твой ответ 4 неверен

• Минимально возможные длины для двух оставшихся кодовых слов — это 1 и 2 (как показано выше). Их сумма равна 3.
• Попытка получить сумму 4 потребовала бы 1 и 3 или 2 и 2. Но:
  • 1 и 3: код длины 3 уже заняты А или Б (000, 001), и сочетание с 1 может привести к конфликтам префиксов в полном бинарном дереве.
  • 2 и 2: две кодовые слова длины 2, например 01 и 10, невозможны вместе с существующими 000 и 001 без добавления еще одного кода (дерево занято и не остаётся место без нарушения префиксности).
• Есть корректная конфигурация с длинами 1 и 2, которая удовлетворяет условию Фано. Следовательно, сумма 3 — правильный ответ.

5. Итог

• Правильная сумма длин для В и Г: 3.
• Пример одного из правильных наборов: А=000, Б=001, Г=1, В=01 (или поменять Г и В местами).

Пожалуйста, оцените мой ответ лайком или дизлайком.