Y(x)=x²-3x, x0=-1/2

Предположим, что задача состоит в нахождении касательной к графику функции в точке x0 = -1/2 (это один из самых частых вариантов с такой формулировкой).

Дано: y(x) = x^2 - 3x, x0 = -1/2.

1. Найдём производную и значение функции в точке x0

• f(x) = x^2 - 3x
• f'(x) = 2x - 3
• y0 = f(x0) = f(-1/2) = (-1/2)^2 - 3(-1/2) = 1/4 + 3/2 = 1/4 + 6/4 = 7/4

2. Найдём наклон касательной в точке x0

• m = f'(x0) = 2(-1/2) - 3 = -1 - 3 = -4

3. Запишем уравнение касательной

• Формула касательной: y - y0 = m (x - x0)
• Подставляем: y - 7/4 = -4 (x + 1/2)

4. Приведём к явному виду

• Раскрывая скобки: y - 7/4 = -4x - 2
• y = -4x - 2 + 7/4 = -4x - 8/4 + 7/4 = -4x - 1/4

Итак, касательная к графику y = x^2 - 3x в точке x0 = -1/2 имеет уравнение:

• в точечной форме: y - 7/4 = -4 (x + 1/2)
• в явной форме: y = -4x - 1/4

Дополнительные заметки (на случай других вероятных задач):

• Значение функции в x0: y0 = 7/4.
• Наклон касательной: -4 (как выше).
• Линейная аппроксимация функции около x0: L(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) = 7/4 - 4(x + 1/2) = -4x - 1/4.
• Если нужна нормаль к графику в x0, её наклон равен противоположному знаменателю касательной: 1/4, так что нормаль имеет уравнение y - 7/4 = (1/4)(x + 1/2) → y = (1/4)x + 15/8.

Если вы хотите другое задание по той же задаче (например, найти нормаль, или проверить шаги, или решить другое значение в точке), скажите — помогу адаптировать решение.