Два мастера на протяжении некоторого числа дней изготавливали одинаковые детали. Сергей Петрович в первый день изготовил s деталей, а Пётр Сергеевич — p деталей, s и p — натуральные числа. Каждый последующий день каждый из мастеров изготавливал на 10 деталей больше, чем в предыдущий. Всего за эти дни Сергей Петрович изготовил на 2261 деталь больше, чем Пётр Сергеевич. а) Могло ли это быть за 20 дней? б) Могло ли это быть за 19 дней, если Сергей Петрович за все дни изготовил не более 3000 деталей? в) Какое наибольшее количество деталей мог изготовить Сергей Петрович, если Пётр Сергеевич в последний день изготовил менее 300 деталей?

Задача разбирается через суммы по дням.

Обозначения

• n — число дней.
• s — количество деталей в первый день у Сергия Петровича.
• p — количество деталей в первый день у Петра Сергеевича.
• Каждый следующий день оба мастера делают на 10 деталей больше предыдущего дня.

1. Выражения для итогов за n дней За n дней Сергий Петрович изготовит S = n·s + 5n(n−1) деталей (потому что сумма s + (s+10) + … + (s+10(n−1)) = n·s + 10·[n(n−1)/2] = n·s + 5n(n−1)). Пётр Сергеевич за те же дни изготовит P = n·p + 5n(n−1).

Разница S − P равна S − P = n·(s − p) = 2261. (1)

Из (1) следует, что n делит 2261. Число 2261 раскладывается как 2261 = 7 · 17 · 19, поэтому возможные n: 1, 7, 17, 19, 119, 133, 323, 2261. Но учитывая, что p и s — натуральные числа, не все эти n реальны: для больших n выражение p_max = 299 − 10(n−1) становится отрицательным, т.е. таких n быть не может. Разберёмся с нужными.

2. а) Могло ли это быть за 20 дней? Нет. 20 не делит 2261, следовательно (1) невозможно: S − P не может быть равно 2261 за ровно 20 дней. Ответ: нет.

3. б) Могло ли это быть за 19 дней, если Сергий Петрович за все дни изготовил не более 3000 деталей? Да, возможно с n = 19, поскольку 2261 ÷ 19 = 119, то s − p = 119. Однако условие о суммарном количестве для Сергия: S = 19·s + 5·19·18 = 19s + 1710. Чтобы S ≤ 3000, требуется 19s ≤ 1290, т.е. s ≤ 1290/19 ≈ 67.89, значит s ≤ 67. Но при n = 19 имеем s − p = 119 и p ≥ 1, поэтому s = p + 119 ≥ 120, что противоречит s ≤ 67. Следовательно, такого не может быть. Ответ: нет.

4. в) Какое наибольшее количество деталей мог изготовить Сергий Петрович, если Пётр Сергеевич в последний день изготовил менее 300 деталей? Пусть n — число дней, для него S − P = 2261 ⇒ s − p = 2261/n. Чтобы s и p были целыми, n должно быть делителем 2261, и при этом p_last = p + 10(n−1) < 300. Из делителей 2261 остаются только n = 1, 7, 17, 19 (для больших n p_max = 309 − 10n получается отрицательным, значит нет допустимых p).

Для каждого n найдём максимально возможное p (чтобы p_last < 300), затем S_total и сравним:

• n = 1: p_last ограничений нет (поскольку n−1 = 0). p ≤ 299. s − p = 2261, значит s = p + 2261. S = 1·s + 5·1·0 = s = p + 2261. Максимум S достигается при p = 299: S = 299 + 2261 = 2560.

• n = 7: p_last = p + 10·6 = p + 60 < 300 → p ≤ 239. s − p = 2261/7 = 323, значит s = p + 323. S = 7s + 5·7·6 = 7(p+323) + 210 = 7p + 2261. При p = 239: S = 7·239 + 2261 = 1673 + 2261 = 4144.

• n = 17: p_last = p + 10·16 = p + 160 < 300 → p ≤ 139. s − p = 2261/17 = 133, значит s = p + 133. S = 17s + 5·17·16 = 17(p+133) + 1360 = 17p + 2261 + 1360 = 17p + 3621. При p = 139: S = 17·139 + 3621 = 2363 + 3621 = 5984.

• n = 19: p_last = p + 10·18 = p + 180 < 300 → p ≤ 119. s − p = 2261/19 = 119, значит s = p + 119. S = 19s + 5·19·18 = 19(p+119) + 1710 = 19p + 2261 + 1710 = 19p + 3971. При p = 119: S = 19·119 + 3971 = 2261 + 3971 = 6232.

Сравнивая значения, наибольшее S достигается при n = 19, p = 119, s = 238, где последний день Пётр сделал 299 деталей (потому что p_last = 119 + 180 = 299 < 300). Тогда Sergey_total = 6232.

Ответ на часть (в): максимум равен 6232 деталей, достигается при n = 19, s = 238, p = 119 (последний день у Петра — 299 деталей).

Итог:

• а) Нет.
• б) Нет.
• в) Максимум для Сергия Петровича: 6232 детали (при 19 днях, s = 238, p = 119; последний день у Петра — 299 деталей).