На какие из перечисленных теоретических фактов могут опираться учащиеся при решении задачи: "В выпуклом четырехугольнике ABCD известны стороны и диагональ: 𝐴𝐵=6, 𝐵𝐶=𝐶𝐷=10, 𝐴𝐷=16, 𝐴𝐶=14. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность"? Свойство равнобедренного треугольника Теорема косинусов Формула приведения Табличные значения косинуса острого угла Признаки равенства треугольников

Ключевой факт для решения: Теорема косинусов.

Пояснение и решение (пошагово):

• Рассматриваем треугольник ABC с данными AB = 6, BC = 10, AC = 14. По теореме косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2·AB·BC·cos∠ABC. cos∠ABC = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2·AB·BC) = (36 + 100 - 196) / (2·6·10) = (-60) / 120 = -1/2. Значит ∠ABC = 120°.

• Рассматриваем треугольник ADC с данными AD = 16, CD = 10, AC = 14. По теореме косинусов: AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2·AD·CD·cos∠ADC. cos∠ADC = (AD^2 + CD^2 - AC^2) / (2·AD·CD) = (256 + 100 - 196) / (2·16·10) = 160 / 320 = 1/2. Значит ∠ADC = 60°.

• Opposite углы в выпуклом четырехугольнике ABCD: ∠ABC = 120°, ∠ADC = 60°. Их сумма 120° + 60° = 180°.

• По признаку описываемой окружности для четырехугольника: если сумма противолежащих углов равна 180°, то четырехугольник цикличен (его можно описать около окружности). Следовательно, около ABCD можно описать окружность.

Ответ по использованию теоретических фактов из списка:

• Обязательно использовать: Теорема косинусов.
• Возможны вспомогательные инструментальные моменты:
  • Табличные значения косинуса острых углов (например, cos 60° = 1/2) помогают распознать углы 60° и 120° после вычисления cos∠ABC и cos∠ADC.
• Свойство равнобедренного треугольника, Формула приведения, Признаки равенства треугольников — не являются необходимыми для данного решения; в этом подходе они не используются напрямую.